¿Es posible tener $f(x)f''(x) \leq -1$ % todo $x \in [0,\infty)$?

Question

Que $f : [0,\infty) \longrightarrow \Bbb{R}$ y Supongamos que $f''$ existe. ¿Es posible tener $f(x)f''(x) \leq -1$ % todo $x$?

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que si esta desigualdad se cumple para todos los $x\ge 0$ $f''(x)$ no cambia de signo y así no $f(x)$ todos los $x\ge 0.$ Cambio $f(x)$ $-f(x),$podemos suponer que la $f''(x)<0$ $f(x)>0$ todos los $x\ge 0.$ Nota, que $f'(x)$ no cambia de signo, de lo contrario $f(x)$ disminuiría en el infinito y que llevaría a $f(x)$ siendo negativa en algún momento.

Así que finalmente tenemos la función con $f(x)>0,$ $f'(x)\ge 0,$ $f''(x)<0$ y $f(x)f''(x)\le -1.$ considera la función $$g(x)=\left(f'(x)\right)^2+2\ln f.$$

Nota, $$g'(x)=2f'(x)\frac{f''(x)f(x)+1}{f}\le 0.$$ Por lo $g$ es una función decreciente y así es $f'(x)$ porque $f''(x)<0.$

Desde $g$ está disminuyendo, $f(x)$ es limitado y por lo tanto $\lim_{x\to\infty}f(x)=c<\infty$ e lo $f''(x)$ se apartó de$0.$, En otras palabras, tenemos $$f''(x)\le -c_0,$$ para algunos $c_0>0.$ Pero luego, la integración de la última desigualdad obtenemos $$f'(t)-f'(0)\le \int_0^tf''(x)\le -c_0t$$ o $$f'(t)\le -c_0t+f'(0)$$ y podemos hacer $f'(t)$ a negativos. Esta contradicción termina la prueba.

Answer 2

He aquí otro enfoque.

La respuesta es no. Supongamos lo contrario. Claramente $f$ $f''$ nunca puede desaparecer, por lo que tampoco puede cambiar de signo. Por otra parte, sus signos son opuestos; por la sustitución de $f$ $-f$ si es necesario, podemos asumir que $f''(x)<0<f(x)$ todos los $x\geq0$. La negatividad de $f''$ significa que $f$ es estrictamente cóncava, es decir, $f(x)< f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ todos los $x,x_0\geq0$. Por otro lado, $1<-f''(x)f(x)$. La combinación de estos, obtenemos \begin{align*} 1 & < -f''(x)f(x) < -f''(x)[f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0)]. \end{align*} Esto implica \begin{align*} 0< {1\over f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)} < -f''(x). \end{align*} La integración da \begin{align*} 0<\int_0^x{1\over f(x_0) + f'(x_0)(t-x_0)}\,dt < -f'(x)+f'(0), \end{align*} y la mitad de la cantidad tiende a infinito con $x$. Esto implica que $f'(x)<0$ $x$ lo suficientemente grande. Pero esto es una contradicción, ya que si $f'(x_0)<0$ $f(x) < f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) <0$ grandes $x$.

Answer 3

Esta respuesta es una versión ampliada de leshik la respuesta correcta redactarse en el idioma de la mecánica Newtoniana. Deje $m>0$ ser una constante positiva. Deje $x:[0,\infty[\to \mathbb{R} $ ser una doble función derivable.

Demostrar que $$\tag{1} \forall t\in [0,\infty[:~~ m~ x(t) ~\ddot{x}(t) ~\leq~ -1$$ es imposible.

La prueba es por la contradicción, y se desarrolla en varios pasos:

1. Asumir que la eq. (1) se mantiene.

2. La aceleración de $\ddot{x}$ no cambia de signo. La prueba por contradicción: Asumir que el par $(\ddot{x}(t_1),\ddot{x}(t_2))$ tiene signo opuesto. Definir el punto medio de $t_3:=\frac{t_1+t_2}{2}$. Cualquiera de las $(\ddot{x}(t_1),\ddot{x}(t_3))$ o $(\ddot{x}(t_3),\ddot{x}(t_2))$ tienen signo opuesto. Definir $t_4$ a ser el punto medio del intervalo correspondiente. Continuando de esta manera, se obtiene una convergencia de la secuencia de $(t_n)_{n\in\mathbb{N}}\to t_{*}\in [t_1,t_2]$. Ambas secuencias $(\ddot{x}(t_n))_{n\in\mathbb{N}}$ $(x(t_n))_{n\in\mathbb{N}}$ debe tener la alternancia de signos. Desde $x$ es continua, llegamos a la conclusión de que $x(t_{*})=0$. Una contradicción.

3. Por la reflexión $x\to -x$ si es necesario, podemos a partir de ahora suponga que $x>0>\ddot{x}$.

4. La velocidad de $\dot{x}>0$ es positivo. La prueba por contradicción: Suponga que el $\dot{x}(t_1)\leq 0$. Desde $\ddot{x}<0$ existe $t_2>t_1$ tal que $\dot{x}(t_2)< 0$, y, a continuación, a su vez, $$\tag{2}\forall t\in [t_2,\infty[:~~\dot{x}(t)~\leq~\dot{x}(t_2)~<~0.$$ Tal negativo de la velocidad de llevar eventualmente a una posición negativa en el futuro no importa qué. Contradicción ya que el $x>0$.

5. A continuación definimos la energía mecánica $$\tag{3}E(t)~:=~\frac{m}{2} \dot{x}(t)^2+\ln x(t).$$

6. La función de la energía (3) es una débil disminución de la función $$\tag{4}\forall t_1,t_2\in [0,\infty[:~~ t_1 ~<~ t_2 ~~\Rightarrow~~ E(t_1)~\geq~E(t_2).$$ Prueba: Multiplicar (1) con $\frac{\dot{x}(t)}{x(t)}>0$ e integrar de$t_1$$t_2$.

7. La función de posición $x(t)\leq e^{E(0)}$ está delimitada desde arriba. Prueba: el Uso de ecualizadores. (3) y (4).

8. La función de aceleración $\ddot{x}(t)\leq - \frac{e^{-E(0)}}{m}$ está delimitada desde arriba. Prueba: Utilizar eq. (1).

9. Tal aceleración negativa eventualmente conducir a una posición negativa en el futuro no importa qué. Contradicción ya que el $x>0$.