Demostración de la concurrencia de puntos medios de segmentos

Question

El círculo de $\triangle ABC$ es tangente a $AB$ , $BC$ et $CA$ en $C'$ , $A'$ et $B'$ respectivamente. Demostrar que las perpendiculares desde los puntos medios de $A'B'$ , $B'C'$ et $C'A'$ a $AB$ , $BC$ et $CA$ respectivamente, son concurrentes.

Tengo los puntos medios de $A'B'$ , $B'C'$ et $C'A'$ como $C''$ , $A''$ et $B''$ . Sé que hay una homotecia relacionada $\triangle A'B'C'$ y $\triangle A''B''C''$ Sin embargo, no sé cómo utilizarlo. Tampoco sé qué $\triangle A''B''C''$ tiene que ver con los lados de $\triangle ABC$ . ¿Pueden ayudarme a demostrarlo geométricamente (sin álgebra)? Muchas gracias.

Answer 1

Sea $\varphi$ la homotecia que mapea $A',B',C'$ a $A'',B'',C''$ y que $I$ sea el incentro del triángulo $ABC$ .

Las líneas $A'I$ , $B'I$ y $C'I$ atravesar $A',B',C'$ y son perpendiculares a $BC,CA,AB$ respectivamente.

Las líneas $\varphi(A'I),\varphi(B'I),\varphi(C'I)$ son las líneas del enunciado del problema: pasan por $\varphi(A')=A''$ , $\varphi(B')=B''$ y $\varphi(C')=C''$ y son paralelas a $A'I, B'I, C'I$ y, por tanto, perpendicular a $BC,CA,AB$ respectivamente. Todos ellos pasan por el punto $\varphi(I)$ .

Answer 2

Esto es lo que tienes que saber: Si para dos triángulos $PQR$ y $P'Q'R'$ las perpendiculares desde los puntos $P$ , $Q$ , $R$ a los segmentos $Q'R'$ , $R'P'$ y respectivamente $P'Q'$ son concurrentes las también las perpendiculares desde los puntos $P'$ , $Q'$ , $R'$ a los segmentos $QR$ , $RP$ y respectivamente $PQ$ son concurrentes. Por lo tanto, la relación entre $PQR$ y $P'Q'R'$ es simétrica.

Esto se demuestra comprobando que ambas propiedades son equivalentes a la igualdad

$$PQ'^2 +QR'^2 + RP'^2 = P'Q^2 + Q'R^2 + R'P$$

Esta equivalencia se demuestra mediante el siguiente hecho: para puntos $S$ en una línea perpendicular a un segmento $UV$ la diferencia $SU^2 - SV^2$ es constante. Esto se deduce directamente de Pitágoras.

Con este resultado, basta para demostrar que las perpendiculares de $A$ , $B$ , $C$ a los segmentos $B"C"$ , $C" A"$ y $A"B"$ son concurrentes. Observe ahora que $B"C" \parallel B'C'$ y la otra, por lo que tenemos que comprobar la concurrencia de las perpediculares de $A$ , $B$ , $C$ a $B'C'$ , $C'A'$ y $A'B'$ . Pero estas son las bisectrices del triángulo $ABC$ . ...