Trazado del producto tensorial frente a la contracción del tensor

Question

He encontrado varias fuentes que hablan de trazos de tensores. ¿Cómo funciona eso? En particular, parece que hay una igualdad de este tipo:

$$ \text{Tr}(T_1\otimes T_2)=\text{Tr}(T_1)\text{Tr}(T_2)\;\;\;...(1) $$

como se encuentra en este Pregunta sobre Stackexchange y esta página de Wikipedia .

En la página de la Wiki "Tensor Contraction" se habla de la contracción tensorial como cierta generalización de la traza, aunque sin proporcionar ninguna formulación ni ejemplo.

Mis preguntas: ¿Cómo funcionan todos? ¿Qué es la traza de un tensor? ¿Cómo interactúa dicha traza con el producto tensorial?

En particular, tengo esta contracción: (siguiendo la convención de suma de Einstein) $$ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $$ donde $F$ es un tensor de rango 2 y cada $F_{\mu\nu}$ es un $4\times 4$ matriz. ¿Puede expresarse como una traza de algún tipo? Posteriormente, ¿puedo aplicar (1) para dividir la expresión en el producto de, por ejemplo, la traza de $F$ ?

Además, $F^{\mu\nu}$ es antisimétrico y estoy tratando de demostrar que lo anterior es igual a cero. Así que ser capaz de utilizar (1) puede ser impresionante.

Nota: Tengo algunos conocimientos, aunque limitados, de geometría diferencial y álgebra. Las palabras en inglés son geniales. Pero, por favor, facilite también definiciones formales. Al mismo tiempo, las explicaciones con la menor cantidad posible de construcciones algebraicas abstractas serían muy apreciadas. Centrarse en la dimensión finita está bien. La extensión al espacio de Hilbert separable, la traza parcial, etc., también es bienvenida.

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EDIT: El segundo piso a en este post parece ser bueno. Sin embargo, no entiendo cómo funciona el producto tensorial de las matrices. Además, ¿cuándo entra en juego la contracción?

Answer 1

Intento responder partiendo del caso de las matrices cuadradas. Hay que tener cierto cuidado al considerar un isomorfismo "oculto" de espacios vectoriales. En cualquier caso, dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dim. finita sobre un campo $\mathbb K$ (para simplificar $\mathbb R$ ), con la base $\{e_i\}$ de cardinalidad $n$ .

Es bien sabido que existe un isomorfismo de espacios vectoriales $$\Phi:\operatorname{Hom}_\mathbb K(V,V)\rightarrow V^{*}\otimes V, $$

con $$\Phi(\phi)=a_{ij}f_i\otimes e_j,$$ donde $\phi\in \operatorname{Hom}_\mathbb K(V,V)$ y $\phi(e_i):=a_{ij}e_j$ para todos $i,j=1,\dots,n$ . $\{f_i\}$ es la base dual en $V^{*}$ de la base $\{e_i\}$ en $V$ es decir $f_i(e_j)=\delta_{ij}$ .

Utilizamos la convención de Einstein para los índices repetidos.

Sabemos cómo definir el operador de rastreo $\operatorname{Tr}$ en el espacio $\operatorname{Hom}_\mathbb K(V,V)$ la traza se calcula sobre la matriz cuadrada que representa cada mapa lineal en $\operatorname{Hom}_\mathbb K(V,V)$ . Pasemos a la h.r. del isomorfismo $\Phi$ .

• operador de rastreo en $V^{*}\otimes V$

Dejemos que $$\operatorname{Tr}_1: V^{*}\otimes V\rightarrow \mathbb K, $$

sea dada por $\operatorname{Tr}_1(g\otimes v):=g(v)$ .

Lema $\operatorname{Tr}_1$ es lineal y satisface $$\operatorname{Tr}_1\circ \Phi=\operatorname{Tr}.$$

prueba : sólo utiliza definiciones.

• operador de rastreo en $(V^{*}\otimes V)\otimes\dots\otimes (V^{*}\otimes V) $

Utilizando el $n=1$ caso introducimos

$$\operatorname{Tr}_n: \underbrace{(V^{*}\otimes V)\otimes\dots\otimes (V^{*}\otimes V)}_{n-\text{times}} \rightarrow \mathbb K, $$

con $\operatorname{Tr}_n(f_1\otimes v_1\otimes\dots\otimes f_n\otimes v_n):=\prod_{i=1}^n f_i(v_i)$ .

Lema $\operatorname{Tr}_n$ es lineal e invariante bajo permutaciones en $(V^{*}\otimes V)^{\otimes n}$ ; cumple con $$\operatorname{Tr}_n\left(\Phi(\phi_1)\otimes\dots\otimes\Phi(\phi_n)\right)=\prod_{i=1}^n \operatorname{Tr}(\phi_i), $$ para todos $\phi_i\in \operatorname{Hom}_\mathbb K(V,V)$ .

prueba : demostramos la segunda afirmación. Introducimos la notación $$\Phi(\phi_k):= a^k_{i_kj_k}f_{i_k}\otimes e_{i_k}\in V^{*}\otimes V,$$ para todos $k=1,\dots,n$ . Llegamos a $$\operatorname{Tr}_n\left( (a^1_{i_1j_1}f_{i_1}\otimes e_{i_1})\otimes\dots\otimes (a^n_{i_nj_n}f_{i_n}\otimes e_{i_n})\right)=a^1_{i_1j_1}\dots a^n_{i_nj_n}f_{i_1}(e_{i_1})\dots f_{i_n}(e_{i_n})=\text{remember the definition of dual basis}= a^1_{i_1j_1}\dots a^n_{i_nj_n}\delta_{i_1j_1}\dots\delta_{i_nj_n}= a^1_{i_1i_1}\dots a^n_{i_ni_n}\\=\prod_{i=1}^n \operatorname{Tr}(\phi_i),$$ como se ha reclamado.