Tenemos el polinomio $f(x)=x^3+6x-14 \in \mathbb{Q}[x]$. Tenemos que $f(x)$ tiene exactamente una raíz real positiva $a$. Eso significa que $f(x)$ puede ser escrito como sigue:
$$f(x)=(x-a)(x^2+px+q)$$
Where do $p,q$ pertenecen?? Están en $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ??
$f(x)$ tiene exactamente una raíz real porque es estrictamente una función creciente (no derivados que se requiere aquí: es la suma de 3 funciones crecientes, uno al menos de ser estrictamente así).
Por el Teorema del Valor intermedio, esta raíz se entre $1$ y $2 $: $f(1)=-7$, $f(2)=6$.
Para una racional raíz de $x=\dfrac n d$, $n$ es divisor del término constante ($14$) y $d$ es un divisor de la dominante coeficiente ($1$). Por lo tanto, si $x$ es racional, es uno de $\{\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm14\}$.
El único valor entre el$1$$2$$2$, y es que no es una raíz. Por lo tanto $x$ es irracional.
Nota. Dado que sólo hay una raíz real, se puede resolver la ecuación con el método de Cardano. Uno encuentra $$x=\sqrt[3]{7-\sqrt{57}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{57}}\approx 1.622.$$
Aunque tu pregunta es un poco más específico, vale la pena mencionar algunos resultados generales sobre la persistencia de divisibilidad que a menudo resultan útiles en tales contextos.
Una propiedad característica de univariante polinomio de anillos sobre un campo es que son los únicos que no son triviales anillos con división-con-el resto, de tal forma que el cociente y el resto son únicos.
La utilización de dicha singularidad es muy fácil de demostrar que la ampliación del coeficiente de campo no cambia la divisibilidad de los resultados. Así, por ejemplo, si $\,f,g\in \Bbb Q[x],\,$ $\,f\,$ divide $\,g\,$ $\Bbb R[x]\,$ $\,f\,$ divide $\, g\,$ $\,\Bbb Q[x],\,$ es decir, el cociente $\,g/f\,$ se encuentra en $\Bbb Q[x],\,$ es decir, sus coeficientes siendo racional.
Otra forma de deducir tales persistencia de cociente (y el resto) es comenzar con la observación de que las operaciones del algoritmo de la división son todos racionales sobre el coeficiente de campo, por lo que permanecer allí. La ventaja de los de arriba la vista es que se establece en el contexto general de deducir las igualdades de teoremas de singularidad - ampliamente método de aplicación.
A ver , dijo la respuesta para una mayor discusión y referencias bibliográficas.
$$f(x)=x^3+(p-a)x^2+(q-ap)x-aq$$
A continuación, $p=a$, debido a $f$ no tiene término en $x^2$. Ahora, $$f(x)=x^3+(q-a^2)x-aq$$ así $q-a^2=6$, $aq=14$.
Por lo tanto, $a$ es racional si y sólo si $p$ es racional. Esto es obvio, ya que son el mismo número. También, $q$ es racional si y sólo si $a$ es racional, ya que su producto es un número racional distinto de cero (es decir, $14$).
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