En $\sqrt{i + \sqrt{i+ \sqrt{i + \sqrt{i + \cdots}}}}$ ¿tiene una forma cerrada?

Question

Últimamente he estado repasando mi análisis complejo y me he encontrado con un problema que me ha dejado perplejo: ¿Cuáles son las partes reales e imaginarias de $$\sqrt{i+\sqrt{i+\sqrt{i+\sqrt{i+\cdots}}}} ?$$

Realmente no sé cómo empezar este problema; este es mi primer encuentro con las raíces anidadas.

Answer 1

Sugerencia Si denotamos $$x = \sqrt{i + \sqrt{i + \sqrt{i + \cdots}}},$$ entonces elevando formalmente al cuadrado y reordenando da que $x$ debe satisfacer la ecuación cuadrática $$x^2 - x - i = 0,$$ dejando dos posibilidades para $x$ .

Para resolver el problema con rigor, necesitarás:

1. para tratar con cuidado el problema habitual con las potencias no integrales de los números complejos--- esto debería incluir la elección de una rama de la función raíz cuadrada---
2. para demostrar que la secuencia $\sqrt{i}, \sqrt{i + \sqrt{i}}, \sqrt{i + \sqrt{i + \sqrt{i + \cdots}}}$ converge (normalmente interpretamos que la raíz anidada es el límite de esta secuencia, y podemos utilizar esta definición, junto con una apelación a la continuidad. para hacer riguroso el cálculo formal anterior), y
3. determinar a qué raíz converge la secuencia en (2) (probablemente esto depende de su elección en (1)).

Tratar este problema en detalle implica muchos subproblemas de diferentes tipos, desde mostrar la convergencia hasta determinar una expresión para las componentes real e imaginaria en términos de radicales. ( Editar Jyrki Lahtonen ha dado un prueba clara y detallada de la primera en otra respuesta a esta pregunta). Si tienes más preguntas sobre algún aspecto en particular, no dudes en preguntar en los comentarios o simplemente publica una nueva pregunta según corresponda.

Answer 2

Para los propósitos de este ejercicio podemos tratar la raíz cuadrada compleja, escrita en forma polar como $re^{i\phi}\mapsto \sqrt re^{i\phi/2}$ como una función continua del semiplano superior cerrado $\bar{H}$ a sí mismo, por lo que arriba especificamos $r\ge0,\phi\in[0,\pi]$ . Si $z\in\bar{H}$ entonces también lo es $i+z$ y obtenemos una función $f:\bar{H}\to\bar{H}$ que puede ser abreviado como $$f(z)=\sqrt{i+z}.$$ Obsérvese que especificando la fase de la raíz cuadrada como arriba obtengo una función bien definida.

Dejemos que $$D=\{z\in\bar{H}\mid \frac35\le |z|\le 2\}.$$ Si $z\in D$ entonces $1\le|z+i|\le3$ y en consecuencia $\frac35<\sqrt{|z+i|}<2$ por lo que vemos que restringiendo $f$ nos da una cartografía continua $f:D\to D$ . Además, $f$ es holomorfa en el interior de $D$ .

Para precisar la pregunta podemos estudiar la secuencia definida recursivamente $x_1=i$ , $x_{n+1}=f(x_n)$ para todos $n\ge1$ . Las consideraciones anteriores demuestran que $(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ es una secuencia de elementos de $D$ . Porque el conjunto $D$ es compacto, tiene una subsecuencia convergente (Bolzano-Weierstrass). Este es el sustituto de análisis complejo para el ejercicio de análisis real de utilizar el teorema de las secuencias monótonas acotadas.

Utilizando las otras respuestas vemos que la función $f$ tiene un único punto fijo en $D$ . Diferenciando la ecuación $$ f(z)^2=i+z $$ implica que para todo $z\in D$ tenemos $$ 2f(z)f'(z)=1. $$ Así que $$ f'(z)=\frac1{2f(z)} $$ tiene valor absoluto $\le\dfrac56<1$ en todo $D$ . Por lo tanto, $f$ es contraíble en $D$ y ese punto fijo único es el límite de toda la secuencia.

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Por supuesto, especificando diferentes ramas de la raíz cuadrada para ser utilizadas en diferentes pasos podemos obtener otras secuencias con otros límites.

Answer 3

Podemos escribir $$z^2 = i+z$$

Dejemos que $z = a+bi$

Ahora tenemos $$(a+bi)^2 = i+(a+bi)$$

$$(a^2-b^2)+2abi = a+(b+1)i$$

Tenemos dos ecuaciones $$a^2-b^2 = a$$ Y $$2ab = b+1$$

Usar wolfram para hacer álgebra, parece que hay dos soluciones

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2-b%5E2+%3D+a%2C2ab+%3D+b%2B1