Es cierto que si $x \in \ell^2$$\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)_{n} \in \ell^2$ ? Suponemos que esto es falso y la secuencia de $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}\ln(n)}$ es un contraejemplo, pero no puedo demostrarlo.
Respuesta
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Es cierto por Hardy desigualdad para $p=2$: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)^2 \leq \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|\right)^2 \stackrel{\text{Hardy}}{\leq} 4\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2.$$
P. S. Tu contraejemplo no funciona: si $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}\ln(n+1)}$, entonces, por Stolz-Cesaro Teorema, $$\begin{align}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i}{x_n}&=\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{nx_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}}{(n+1)x_{n+1}-nx_n}\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1 - \frac{n(n+1)^{1/2}\ln(n+2)}{n^{1/2}\ln(n+1)}}\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1 - n(1+\frac{1}{2n})}=2,\end{align}$$ anf se sigue que $\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)_{n} \in \ell^2$ porque $$\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)^2\sim (2x_n)^2=\frac{4}{n\ln^2(n+1)}.$$
