El número de enteros $k$ para la cual la ecuación $x^3-27x+k$ tiene al menos dos raíces enteras distintas es?

Question

El número de enteros $k$ para la cual la ecuación $x^3-27x+k$ tiene al menos dos raíces enteras distintas es?

Mi intento: Dado que los números imaginarios siempre forman raíces en pares la pregunta es la misma que tener dos raíces enteras y otra raíz real.

Si las raíces son $A$ , $B$ y $C$ de los cuales $A$ y $B$ son dos enteros distintos y $C$ es un número real, entonces podemos escribir 1. $$-k=ABC$$ 2. $$-27=AB+BC+CA$$ 3. $$A+B+C=0$$ Ecuación 3. Implica que incluso $C$ tiene que ser un número entero. Ahora no sé cómo puedo encontrar el número de valores de k para los que todas las raíces son enteras.

Answer 1

El discriminante de $x^3-27x+k$ es $-27(k^2-54^2)$ . De ello se desprende que $$ x^3-27 x = -k $$ tiene $\geq 2$ distinto real soluciones para cada $k$ en el rango $[-54,54]$ .

Según las fórmulas de Vieta, si $x^3-27x+k$ tiene dos raíces enteras distintas $a,b$ entonces $-(a+b)$ también es una raíz entera. Además tenemos $ab(a+b)=k$ y $a^2+ab+b^2 = 27$ . $a^2+ab+b^2$ es una forma cuadrática con discriminante negativo, por lo que $a^2+ab+b^2=27$ tiene un número finito de soluciones enteras. Son sencillas de hallar factorizando ambos lados sobre $\mathbb{Z}[\omega]$ (que es un UFD):

$$(a,b)\in\{(-6,3),(-3,-3),(-3,6),(3,-6),(3,3),(6,-3)\}$$ por lo que sólo hay $\color{red}{2}$ valores de $k$ haciendo el trabajo, es decir $\pm 54$ .

Answer 2

Sustituyendo $c = -\frac{k}{ab}$ en la tercera ecuación da como resultado $$a+b-\frac{k}{ab}=0\quad\Rightarrow\quad k = ab(a+b).$$ Usando eso en la segunda ecuación y simplificando da $$(a+b)^2 = ab+27,\text{ or }a^2+ab+b^2=27.$$ Así, $$b = \frac{1}{2}(-a\pm\sqrt{3(36-a^2)}\,).$$ Desde $a$ y $b$ deben ser ambos enteros, se obtienen rápidamente los pares $$(a,b) = (-6,3), (-3,-3), (-3,6), (3,-6), (3,3), (6,-3),$$ cada uno de los cuales da una solución. Sin embargo, sólo dos de esas soluciones tienen el término lineal igual a $-27$ : $x^2-27x\pm 54$ .