Calcular un límite de $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \Big\{\frac{k}{\sqrt{3}}\Big\} $

Question

El problema es calcular un límite $$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \Big\{\frac{k}{\sqrt{3}}\Big\} $$ donde {$\cdot$} es una parte fraccionaria. Creo que este límite es igual a $\frac{1}{2}$, pero no tengo una rigurosa prueba. La única idea que viene a mi mente es la siguiente. Se puede demostrar que el conjunto de $$ A=\bigg\{ \Big\{\frac{k}{\sqrt{3}}\Big\} : k\in \mathbb{N}\bigg\} \subconjunto [0,1] $$ es denso y equidistributed. Es por eso que el valor de la media representado por el límite es igual al valor de la media de la distribución uniforme $U(0,1)$ que es igual a $1/2$. ¿Cómo puedo realizar la prueba rigurosa?

Cualquier otro tipo de enfoques son apreciados. Probablemente, uno puede aplicar la ley de los grandes números para calcular este límite.

Answer 1

Usted puede utilizar un reescalado de la versión de Khinchin la equidistribución teorema:

$$ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n \sqrt{3}}\sum_{k=1}^{\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor} f\left((x+ka)\!\!\!\!\pmod{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{3}}f(y)\,dy. $$ Tenemos $\left\{\frac{k}{\sqrt{3}}\right\}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(k\!\!\pmod{\sqrt{3}}\right)$, por lo tanto, el límite está dado por: $$ \frac{1}{3}\int_{0}^{\sqrt{3}}y\,dy=\color{red}{\frac{1}{2}}$$ como se esperaba (un juego de palabras, ahora).

De todos modos, ya que estamos tratando con un caso trivial de Khinchin del teorema, que sólo puede expandir $\{x\}-\frac{1}{2}$ como una de Fourier senoidal de la serie y el uso termwise integración para demostrar la misma.