¿Por qué es este método intuitivo válido?

Question

Problema. Hay $2$ blanco y $3$ negro bolas en la urna. Una persona al azar $2$ bolas y poner $1$ blanco de la bola. ¿Cuál es la probabilidad de que el evento de que el próximo aleatoriamente elegido balón sería blanco.

Para resolver este problema formalmente usted tiene que considerar probabilidades condicionales y así sucesivamente. Pero en la infancia no sabía que esas palabras por lo que fue la solución de problemas de este tipo, de la siguiente manera.

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Solución intuitiva. Vamos a moler las bolas en polvo y mezclar. Tendremos $5$ (lo que quieras, por ejemplo) kilogramos de polvo. $\frac{2}{5}$ de cada kilogramo es blanco y $\frac{3}{5}$ es negro. Una persona al azar llevó a $2$ pelotas en mi modelo, significa que le llevó a $2$ kilogramo de polvo. Poner a $1$ bola blanca significa que él ponía $1$ kilogramo de blanco en polvo.

Después de todas las acciones que allí se $\left(5 \cdot\frac35-2\cdot \frac35\right)=\frac95$ kilogramos de negro polvo y $\left(5 \cdot\frac25-2\cdot \frac25\right) + 1=\frac95=\frac{11}5$ kilogramos de blanco en polvo. Así que la probabilidad final de la cosecha del blanco de la bola es $\frac{11}{5}/\left(\frac{11}{5}+\frac{9}{5}\right) = \frac{11}{20}$.

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Se puede comprobar que esta es la respuesta correcta, pero la pregunta es ¿por qué este método intuitivo válido?

Answer 1

De bolas de molienda en polvo es matemáticamente el mismo como el de calcular el valor esperado.

De hecho, la razón por la que los matemáticos a menudo hablan de espera de los cálculos del valor como la suma de los valores posibles, ponderada por su probabilidad, es exactamente la razón por la que su intuición de pesos de molido de bolas es relevante.

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El número esperado de bolas negras llevado a cabo, $b$, es

$$E(b) = P(b=0)\cdot 0 + P(b=1) \cdot 1 + P(b=2) \cdot 2$$

El $P(b=k)$ $k=0,1,2$

$$P(b=0) = \frac{1}{\binom{5}{2}} = \frac{1}{10}$$

$$P(b=1) = \frac{2 \cdot 3}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{5}$$

$$P(b=2) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$$

Esto nos da

$$E(b) = 0 + \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{5}$$

Esto significa que el número esperado de bolas negras a la izquierda después de que los dos son llevados a cabo es

$$3-E(b) = \frac{9}{5}$$

Del mismo modo, se espera que el número de bolas blancas llevado a cabo, $w$, es

$$E(w) = \frac{4}{5}$$

Y se espera que el número de bolas blancas restantes:

$$2-E(w) = \frac{6}{5}$$

Se puede calcular directamente, o aviso de que $$(3-E(b)) + (2-E(w)) = 5-E(b+w) = 5-2 = 3$$

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Después de la adición de una bola blanca, la nueva espera que el número de bolas blancas es

$$1+(2-E(w)) = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$$

Ahora hay un total de $4$ bolas, por lo que la probabilidad de elegir una bola blanca es

$$\frac{\frac{11}{5}}{4} = \frac{11}{20}$$