Por qué no hay $5$ -¿Análogo dimensional de los cuaterniones? ¿Por qué la siguiente definición no está bien definida? $$i^2=j^2=k^2=\ell^2=ijk=jk\ell=k\ell i=-1,\quad ijkl=1.$$
Si buscas un espacio vectorial real $V$ con base $\{1,i,j,k,\ell\}$ y un producto asociativo tal que $V$ se convierte en $\Bbb{R}$ -entonces nos encontramos con la siguiente dificultad.
La norma que $i^2=-1$ significa que $V$ también tiene una estructura como espacio vectorial sobre el campo $\Bbb{C}=\Bbb{R}(i)$ .
Pero un espacio vectorial sobre $\Bbb{C}$ tiene necesariamente una dimensión par como espacio vectorial sobre $\Bbb{R}$ .
Lo anterior no es probablemente el camino más corto hacia una contradicción (véase el comentario de verret). Pero también descarta muchas modificaciones de las relaciones sugeridas que definen el producto.
En la misma línea, si $\Bbb{H}$ es el álgebra de división habitual de los cuaterniones, entonces cualquier álgebra asociativa $A$ que contiene $\Bbb{H}$ como subálgebra es también una izquierda (o derecha) libre $\Bbb{H}$ -módulo. Por lo tanto $\dim_{\Bbb{R}}A$ es necesariamente divisible por cuatro.
Creo que en realidad podemos relajar un poco la asociatividad, pero no estoy seguro de cuál es la mejor forma de expresarlo :-)
Un poco más relajado: si $A$ es un álgebra alternativa real con $n$ raíces cuadradas anticonmutadas de uno negativo, entonces $A$ es una representación del álgebra de Clifford ${\rm Cliff}(n)$ . Desde $\mathrm{Cliff}(n)\cong M_k(\Bbb K)$ para algunos $k$ las dimensiones de sus repeticiones son todas múltiplos de $km$ donde $m=1,2,2,4,4,8$ y $\Bbb K=\Bbb R,\Bbb R^2,\Bbb C,\Bbb C^2,\Bbb H,\Bbb H^2$ . Nota $k$ y $\Bbb K$ puede determinarse a partir de $n$ usando el "reloj de Clifford".
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$ijk=-1$ y $ijkl=1$ implica $-1(l)=1$
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Véase también: es.wikipedia.org/wiki/Octonion