Qué son los números enteros $x$ y $n$ como $x^4+x^3+x^2+x+1 = n^2$ ?

Question

Cuáles son los números enteros $x$ como $x^4+x^3+x^2+x+1$ ¿es el cuadrado de un número entero?

$0$ y $-1$ son respuestas obvias, pero ¿cuántas hay?

Answer 1

Idea: Límite entre cuadrados perfectos conocidos.

Para $x \neq 0$ tenemos (ampliar y verificar) $$( x^2 + \frac{x}{2} ) ^ 2 < x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 < (x^2 + \frac{x}{2} + 1)^2.$$

Por lo tanto, la única posibilidad de un cuadrado perfecto es que $x$ para ser impar, y el cuadrado es igual a $( x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2})^2$ . Esto nos da (ampliar y simplificar) $\frac{1}{4} (-x^2 + 2x + 3) =0$ Por lo tanto $x=-1, 3$ .

Añadir en $x=0$ obtenemos 3 soluciones.