Evaluación de integrales con integrando funciones trigonométrica

Question

Resolver otro problema, me he encontrado con esta integral que soy incapaz de evaluar. ¿Puede alguien por favor evaluar la siguiente integral? Gracias.

$$\int_0^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta.$$

Answer 1

Consideremos la siguiente integral: $$I(a)=\int_0^{\pi} \frac{d\theta}{a+\cos\theta}$$ reescritura $\cos\theta=\frac{1-\tan^2(\theta/2)}{1+\tan^2(\theta/2)}$ para obtener: $$I(a)=\int_0^{\pi} \frac{\sec^2(\theta/2)}{a+1+\tan^2(\theta/2)(a-1)}d\theta$ $ Utilice la sustitución $\tan(\theta/2)=t \Rightarrow \sec^2(\theta/2)d\theta=2\,dt$ para obtener: %#% $ de #% lo anterior es fácil de evaluar y da: %#% $ de #% por lo tanto, $$I(a)=\int_0^{\infty} \frac{2}{a+1+(a-1)t^2}\,dt$ $ distinguir ambos lados wrt $$I(a)=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ para obtener: $$\int_0^{\pi} \frac{d\theta}{a+\cos\theta}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ $ volviendo al problema, tienes, $a$ $ $$\int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^2}=\frac{a\pi}{(a^2-1)^{3/2}}\,\,\,\,\,(*)$ y $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}=2\int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}$, la respuesta final es: $(*)$ $

Answer 2

Aquí es el enfoque de integración del contorno.

$$\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{(2+ \cos \theta)^{2}} \ d \theta = \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{(2+\frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2})^{2}} \ d \theta$$

Que $z=e^{i \theta}$.

Entonces

$$ \begin{align}\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{(2+ \cos \theta)^{2}} \ d \theta &= \int_{|z|=1} \frac{1}{(2+\frac{z+z^{-1}}{2})^{2}} \frac{dz}{iz} \\ &= \frac{4}{i}\int_{|z|=1} \frac{z}{(z^{2}+4z+1)^{2}} \ d z \\ &=\frac{4}{i} \int_{|z|=1}\frac{z}{[(z-\sqrt{3}+2)(z+\sqrt{3}+2)]^{2}} \ dz \end{align}$$

El polo sólo dentro del círculo unidad es $z= \sqrt{3}-2$.

Por lo tanto,

$$\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{(2+ \cos \theta)^{2}} \ d \theta &= 2 \pi i \frac{4}{i} \text{Res} \left[ \frac{z}{[(z-\sqrt{3}+2)(z+\sqrt{3}+2)]^{2}}, \sqrt{3}-2 \right] \\ &= 8 \pi \lim_{z \to \sqrt{3}-2} \frac{d}{dz} \frac{z}{(z+\sqrt{3}+2)^{2}} \\ &= 8 \pi \lim_{z \to \sqrt{3}-2} \frac{(z+\sqrt{3}+2)^{2}-2z(z+\sqrt{3}+2)}{(z+\sqrt{3}+2)^{4}} \\ &= 8 \pi \lim_{z \to \sqrt{3}-2} \frac{-z+ \sqrt{3} + 2}{(z+\sqrt{3}+2)^{3}} \\ &= 8 \pi \frac{4}{24 \sqrt{3}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \end {Alinee el} $$

Answer 3

Aquí está una fea manera de hacerlo. Pranav la solución es mucho más elegante.

Primer sustituto $u = \tan(\tfrac{\theta}{2})$$\mathrm{d}u = \tfrac{1}{2} \sec^2(\tfrac{\theta}{2})\mathrm{d}\theta$. Entonces, transformar el integrando el uso de la sustitución $\sin(\theta) = \frac{2u}{u^2+1}$, $\cos(\theta) = \frac{1-u^2}{u^2+1}$ y $\mathrm{d}\theta = \frac{2\mathrm{d}u}{u^2+1}$ conseguir $$I = \int \frac{1}{(2+\cos(\theta))^2}\mathrm{d}\theta = \int \frac{2}{(u^2 + 1)\left(\tfrac{1-u^2}{u^2+1} +2\right)^2} \mathrm{d}u = 2\int \frac{u^2+1}{u^4 + 6u^2 +9} \mathrm{d}u.$$

Ahora, usando fracciones parciales, se puede reescribir esta integral como $$I = \frac{2}{3}\int\frac{1}{\tfrac{u^2}{3}+1}\mathrm{d}u - 4\int\frac{1}{(u^2+3)^2}\mathrm{d}u.$$

Para el primer integrando, sustituto $s = \frac{u}{\sqrt{3}}$ $\mathrm{d}s = \frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{d}u$ para obtener $$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{s^2+1} \mathrm{d}s - 4\int\frac{1}{(u^2+3)^2}\mathrm{d}u.$$ Sabemos cómo integrar el lado izquierdo. Esto es sólo $$I = \frac{2\arctan(s)}{\sqrt{3}} - 4\int\frac{1}{(u^2+3)^2}\mathrm{d}u.$$

Por el lado de la derecha, sustituimos $u = \sqrt{3}\tan(p)$$\mathrm{d}u=\sqrt{3}\sec^2(p)\mathrm{d}p$. Entonces, tenemos que $(u^2+3)^2 = (3\tan^2(p) +2)^2 = 9\sec^4(p)$$p = \arctan(\tfrac{u}{\sqrt{3}})$. Esto produce que la integral $$I = \frac{2\arctan(s)}{\sqrt{3}} - \frac{4}{3\sqrt{3}} \int \cos^2(p) \mathrm{d}p.$$ La integración de $\cos^2(p)$ es fácil mediante el uso de la identidad de $\cos^2(p) = \frac{\cos(2p) + 1}{2}$. Todo lo que queda ahora es integrar este y sustituir su camino de regreso a expresar $I$ en términos de $\theta$. Evaluar de $0$ $2\pi$obtener $$I_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}.$$

Answer 4

SUGERENCIA :

El uso de Weierstrass de sustitución, la integral resulta ser $$ \int_0^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta=2\int_0^{\pi}\frac{1}{(2+\cos\theta)^2}\,d\theta=4\int_0^\infty\frac{1+x^2}{(3+x^2)^2}\ dt. $$

Ahora, el uso parcial de la fracción de descomposición, el integrando resulta ser $$ \frac{1+x^2}{(3+x^2)^2}=\frac{1}{3+x^2}-\frac{2}{(3+x^2)^2}. $$ El último paso, por medio de la sustitución $x=\sqrt3\tan t$, la integral debe ser fácil para ser evaluados.

Answer 5

Por supuesto puede aplicar directamente la sustitución $t=\tan \frac{\theta}{2}$. $$d\theta =\frac{2dt}{1+t^2}$$ and $$\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ So $$2\int_0^{\pi}\frac{d \theta}{(2+\cos\theta)^2}=4\int_0^{\infty} \frac{t^2+1}{(t^2+3)^2}dt$$