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Cuando $\|f_n\|_{L^2}=1$ donde $f_n(x)= f(x-n)+(-1)^n f(x+n)$ ?

Dejemos que $f: \mathbb R \to \mathbb C $ sea una función y defina $f_n(x)= f(x-n)+(-1)^n f(x+n).$

¿Podemos esperar elegir $f\in L^2(\mathbb R)$ tal que $\|f_n\|^2_{L^2}=1$ para todos $n\in\mathbb Z$ ?

Pensamiento lateral : Sabemos que $L^2(\mathbb R)$ es un espacio de Hilbert complejo con producto interno $\langle f, g \rangle = \int f \bar{g}$ y utilizando las propiedades de producto interior tenemos $$\|f_n\|_{L^2}^2= 2\|f\|^2_{L^2}+ 2 \text{Re} \langle f(x-n), (-1)^nf(x+n)\rangle $$

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Steven Lu Puntos 866

Idea para la respuesta negativa: para $\epsilon>0$ existe $M>0$ s.t. $\|f\chi_{[-M,M]}\|_{L^2} > 1 - \epsilon.$ ( $\chi_{\cdots} =$ función característica). Para $n$ lo suficientemente grande, $$\|f_n\|_{L^2}^2\approx\|f(\cdot - n)\|_{L^2}^2 + \|f(\cdot + n)\|_{L^2}^2 = 2\|f\|_{L^2}^2.$$

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