Encontrar una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(\mathbb{R})$ no está abierto ni cerrado

Question

Encontrar una función continua y acotada $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(\mathbb{R})$ no está ni abierto ni cerrado?

Answer 1

Tome $f(x):=e^{-x^2}$ es una función continua acotada en la recta real, y $f(\Bbb R)=(0,1]$ que no está ni abierto ni cerrado.

Answer 2

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definirse como $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ . Usted tiene que $f(\mathbb{R})=[0,1)$ que no está ni abierto ni cerrado.

Answer 3

Tome $f(x) = \arctan(x^2)$ . Entonces, $f(\mathbb{R}) = [0, \pi/2)$ .

Answer 4

Tome $f(x)$ para ser $ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^2}, \ x\not\in [-1,1], \\ \\ \\ 1 \ \ \ \ , x\in[-1,1] \end{cases} $ . Es $f$ ¿constante? ¿Compuesto? ¿Qué es $f(\mathbb R)$ ?