deje $A$ ser una matriz de n por n, muestran que $||A||_{OP} \leq ||A||_{HS} \leq \sqrt{n} ||A||_{OP}$

Question

Se nos da $A \in M_{n}(\mathbb R)$ y las siguientes normas:

$||.||_{e}$ es el estándar de la norma euclídea de $\mathbb R^n$.

$||A||_{OP}$ es el operador de la norma de $A$, lo $||A||_{OP} = sup_{||v||_e=1} ||Av||_e$

$||A||_{HS}$ es la de Hilbert-Schmidt norma. Significado $||A||_{HS} = trace(A^TA)$

Mostrar que $||A||_{OP} \leq ||A||_{HS} \leq \sqrt{n} ||A||_{OP}$

En primer lugar, me enteré de lo que hilbert-schmidt norma es, y $trace(A^TA) = \sum a^2, a\in A$

¿Cómo puedo demostrar que es más grande que el operador de la norma?

Answer 1

Una definición equivalente de Hilbert-Schmidt norma es $||A||_{HS} = (\sum_j \sigma_j(A)^2)^{1/2}$ donde $\sigma_k(A)$ $k$- ésimo valor singular de la matriz $A$. Estos son sólo los autovalores de la matriz $\sqrt{A^*A}$. A continuación, puede mostrar que el mayor valor singular de a $A$ es igual a la del operador de la norma de la matriz $A$.

Ahora claramente, $||A|| = \sigma_1(A) \leq (\sum_j \sigma_j(A)^2)^{1/2} = ||A||_{HS}$.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $||A||_{op} \leq {\lambda_1}^\frac{1}{2}$ donde ${\lambda}_1 $ $A^TA$'s max autovalor. La prueba es como sigue:

$||Av||^2 = <Av, Av> = <A^TAv,v>$ donde $<,>$ denota un punto del producto.

Tenga en cuenta que $A^TA$ es un valor no negativo de la matriz, por lo que podemos aplicar el teorema Espectral.

$<A^TAv,v>$ $=$ $<\sum_{i=1}^r{\lambda}_iE_iv,v>$ $=$ $\sum_{i=1}^r{\lambda}_i<E_iv,v>$ $\leq$ $ \lambda_1 <Iv,v> ={\lambda}_1 ||v||^2$

donde ${\lambda}_k$ es algún autovalor y ${\lambda}_1$ es el máximo autovalor (que son todos reales y no negativos).

Así que tenemos $\frac{||Av||}{||v||} \leq {\lambda}_1^{1/2}$.

Con respecto a $||A||_{HS}$, tenga en cuenta que $A^TA$ tiene una diagonal de forma que, por las razones mencionadas anteriormente. Por lo tanto, $$||A||_{HS}^2 = \sum_{i=1}^r \lambda_i$$

Es trivial que ${\lambda_1}^\frac{1}{2} \leq {\lambda_1}^\frac{1}{2} +\sum_{i=2}^r {\lambda_i}^\frac{1}{2} $ y así: $||A||_{Op} \leq ||A||_{HS} $.

Tenga en cuenta que para la segunda desigualdad, tenga en cuenta que $||A||_{HS}$ máximo $\iff$ $A^TA$'s autovalores son iguales. ¿Qué valor tiene $||A||_{HS}$ obtener en ese caso?

Espero que esto ayude.