Complejo diferenciable implica analítico

Question

La única prueba de esto que conozco, utiliza la integración de líneas complejas. Esta herramienta permite una prueba elegante, pero me ha privado de cualquier comprensión intuitiva o geométrica de por qué es así. ¿Existe una razón más profunda y esclarecedora de por qué es así?

Answer 1

Más profundo - sí, más intuitivo - no lo creo. Este es un caso especial del principio general de que las soluciones de las EDP elípticas con coeficientes analíticos son analíticas (=se expanden en series de potencias convergentes). La EDP elíptica en cuestión es, por supuesto, la ecuación de Cauchy-Riemann, o la ecuación de Laplace que se deriva de ella. En el caso de la ecuación de Laplace, esto se denomina "lema de Weyl". Para las ecuaciones elípticas generales (no lineales) de segundo orden, éste era uno de los problemas de Hilbert, resuelto por Serge Bernstein.

Todas estas pruebas son bastante avanzadas, y no puedo decir que sean más intuitivas que la prueba de Cauchy para las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Así que éste fue, efectivamente, un gran descubrimiento de Cauchy: un hecho que está muy lejos de ser intuitivo.