¿Interpretaciones geométricas de$||z||_p = 1$?

Question

Aquí $z = a + bi$, $a, b, \in \mathbb{R}$ y $||z||_p = \sqrt[p]{|a|^p + |b|^p}$.

$p = 1$, Esto es solo diamante (cuadrados rotados 45 grados) de lado = $\sqrt2$ centrado en el origen.

$p = 2$, Esto es un círculo de radio $1$ centrado en el origen.

$p \to \infty$, Se trata de un cuadrado de lado = $2$ centrado en el origen.

¿Existe una interpretación geométrica para cada número entero $p$?

Answer 1

Para cada $p\ge 1$, tenemos $|z|_p=1$ % que $|x|^p+|y|^p=1$. Geométricamente, esto es lo que sucede como $p$ varía:

(En el límite como $p\to\infty$, los bordes afila para obtener una plaza).