Evaluación de $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac1x\left((1+2x+3x^2)^{1/x}-(1+2x-3x^2)^{1/x}\right)$

Question

Evaluación de $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+2x+3x^2)^{\frac{1}{x}}-(1+2x-3x^2)^{\frac{1}{x}}}{x}$$

$\bf{Mi\; Intento::}$ Sea $$l=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\frac{\ln(1+2x+3x^2)}{x}}-e^{\frac{\ln(1+2x-3x^2)}{x}}}{x}$$

Usando $$\bullet \; \frac{\ln(1+x)}{x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-.....\infinite$$

Pero no estoy obteniendo respuesta.

Ahora, ¿Cómo puedo resolver después de eso? Ayúdame

Gracias

Answer 1

Como de costumbre, este límite también se puede evaluar sin el uso de la Regla de L'Hospital y la serie de Taylor simplemente aplicando límites estándar combinados con el uso del álgebra de límites. Tenemos $$\begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{(1 + 2x + 3x^{2})^{1/x} - (1 + 2x - 3x^{2})^{1/x}}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + 2x + 3x^{2})}{x}\right) - \exp\left(\dfrac{\log(1 + 2x - 3x^{2})}{x}\right)}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left(\dfrac{\log(1 + 2x - 3x^{2})}{x}\right)\cdot\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + 2x + 3x^{2}) - \log(1 + 2x - 3x^{2})}{x}\right) - 1}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp\left(\dfrac{\log(1 + 2x - 3x^{2})}{2x - 3x^{2}}\cdot(2 - 3x)\right)\cdot\dfrac{\exp\left(\dfrac{1}{x}\log\left(\dfrac{1 + 2x + 3x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right)\right) - 1}{x}\notag\\ &= \exp(1\cdot 2)\lim_{x \to 0}\dfrac{\exp\left(\dfrac{1}{x}\log\left(\dfrac{1 + 2x + 3x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right)\right) - 1}{x}\notag\\ &= \exp(2)\lim_{z \to 0}\frac{\exp(z) - 1}{z}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{z}{x}\notag\\ &= \exp(2)\lim_{x \to 0}\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{6x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right)}{x^{2}}\notag\\ &= \exp(2)\lim_{x \to 0}\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{6x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right)}{\dfrac{6x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}}\cdot\frac{6}{1 + 2x - 3x^{2}}\notag\\ &= e^{2}\cdot 1\cdot 6 = 6e^{2}\notag \end{align}$$ Hemos utilizado los límites estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1 = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1}{x}$$ y el hecho de que $$z = \frac{1}{x}\log\left(\frac{1 + 2x + 3x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right) = \frac{1}{x}\log\left(1 + \frac{6x^{2}}{1 + 2x - 3x^{2}}\right)\to 0$$ cuando $x \to 0$ (lo cual se sigue fácilmente de los límites estándar mencionados anteriormente).

Answer 2

Considere $$A=\frac{(1+2x+3x^2)^{\frac{1}{x}}-(1+2x-3x^2)^{\frac{1}{x}}}{x} =\frac{B^{\frac{1}{x}}-C^{\frac{1}{x}}}x$$ usando $$B=(1+2x+3x^2) \qquad , \qquad C=(1+2x-3x^2)$$ Entonces $$\log(B^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x}\log(B)$$ y ahora, usando la serie de Taylor $$\log(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+O\left(y^4\right)$$ reemplace $y$ por $(2x+3x^2)$ para obtener $$\log(B)=2 x+x^2-\frac{10 x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ lo que da $$\log(B^{\frac{1}{x}})=2+x-\frac{10 x^2}{3}+O\left(x^3\right)$$ Ahora, usando Taylor nuevamente, $$B^{\frac{1}{x}}=e^{\log(B^{\frac{1}{x}})}=e^2+e^2 x-\frac{17 e^2 x^2}{6}+O\left(x^3\right)$$ Haciendo lo mismo con el segundo término, debería llegar a $$C^{\frac{1}{x}}=e^2-5 e^2 x+\frac{127 e^2 x^2}{6}+O\left(x^3\right)$$ Todo eso hace que $$A=6 e^2-24 e^2 x+O\left(x^2\right)$$ lo cual muestra el límite y cómo se aproxima.

Answer 3

Pista: $e^{1+t} - e^{1-t} \sim 2t$ a medida que t tiende a 0