¿Cuántos elementos existen en este anillo cociente?

Question

Así que vamos a tener este curso de graduación en mi departamento de álgebra conmutativa y no es un problema de la hoja que tenemos que presentar. El segundo problema dice así:

Deje $R$ ser el anillo de $R=\mathbb{Z}[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb{Z}\}$ y deje $J=17R\subseteq R.$ ¿cuántos elementos hay en el anillo cociente $R/J$? Es $J$ un alojamiento ideal?

Ahora, yo sé que un teorema que establece que $\mathbb{Z}[\sqrt n]/p\mathbb{Z}[\sqrt n]$ (p: prime) es un campo (por lo tanto, $p\mathbb{Z}[\sqrt n]$ es la máxima y, por tanto, un primer ideal) si y sólo si no hay ninguna $a\in\mathbb{Z}$ tal que $$a^2\equiv n\mod p$$ and in that case, $\mathbb{Z}[\sqrt n]/p\mathbb{Z}[\sqrt n]$ has $p^2$ elementos.

En mi caso el teorema anterior no funciona porque para $6\in\mathbb{Z}$ I got $6^2\equiv 2\mod 17$ así que estoy un poco confundido.

ps. Este es mi primer post, así que acepte mis disculpas por los errores que he cometido.

ps2. Lo siento por mi inglés.

Answer 1

Esta es la forma en que veo este tipo de problemas. Primero de todo, $\Bbb Z[\sqrt{2}]\cong \Bbb Z[x]/(x^2-2)$.

A continuación, utilizando los teoremas de isomorfismo, $\Bbb Z[\sqrt{2}]/(17)\cong \Bbb Z[x]/(x^2-2,17)\cong(\Bbb Z/(17))[x]/(x^2-2)=\Bbb F_{17}[x]/(x^2-2)$.

(Estoy tomando algunas libertades con la notación: los paréntesis alrededor de los elementos que denotan el ideal generado en el anillo en su contexto. Por eso, aunque el $(17)$ todos parecidos, en realidad son diferentes conjuntos a medida que se generan en sus respectivos anillos.)

Así que la pregunta cantidades para averiguar la estructura de $\Bbb F_{17}[x]/(x^2-2)$, pero coeficientes del polinomio anillos sobre los campos son bastante fáciles de analizar. El ideal de $(x^2-2)$ va a ser el primer fib $x^2-2$ es irreducible sobre $\Bbb F_{17}$, pero usted descubrirá rápidamente que tiene dos raíces sobre este campo, y es reducible.

Dado que las dos raíces de la $\alpha,\beta$, el teorema del resto Chino dice que $\Bbb F_{17}[x]/(x^2-2)\cong \Bbb F_{17}[x]/(x-\alpha)\times \Bbb F_{17}[x]/(x-\beta)\cong \Bbb F_{17}\times \Bbb F_{17}$, por lo que el anillo ha $289$ elementos.

Answer 2

Lo puedes hacer con la mano muy fácilmente: dos elementos $a+b\sqrt{2}$ y $c+d\sqrt{2}$ mentira en el mismo foro coset su diferencia pertenece a $17R$. Desde $17R={17x+17y\sqrt{2}\colon x,y\in \mathbb Z}$, tienes que $a+b\sqrt{2}$ y $c+d\sqrt{2}$ mentira en el mismo % de coset iff $a\equiv b\bmod 17$y $c\equiv d\bmod 17$. Así ver que tiene de $R/17R$ $17^2$ elementos y no es un campo por la razón que usted ha señalado. De hecho, es isomorfo como un anillo a $R/17R$ $\mathbb F{17}\times \mathbb F{17}$.