Resultados ligeramente diferentes a un sistema de Oda - mano vs cálculo Mathematica

Question

Esta ha sido la conducción que me vuelva loco de los últimos días. Tengo un par de Odas:

$$\frac{d^2 M_N}{d x^2}=\lambda_{N}^2 M_N$$

$$\frac{d^2 M_{N-1}}{d x^2}=\lambda_{N-1}^2 M_{N-1}-\frac{f}{d_{N-1}}M_N$$

Con BCs $$M_N(1)=M_{N-1}(1)=0,\ \frac{d M_{N}}{d x}(0)=h,\ \frac{d M_{N-1}}{d x}(0)=0$$

La solución a $M_N$ es: $$M_N(x)=\frac{h}{\lambda_N}\text{sech}(\lambda_N)\sinh(\lambda_N(x-1))$$ No hubo sorpresas. El problema viene cuando voy a resolver $M_{N-1}$. Obtengo: $$M_{N-1}=\frac{fh}{d_{N-1}\lambda_{N}^2}\left(\frac{1}{\lambda_N}\text{sech}(\lambda_N)\sinh(\lambda_N(x-1))-\frac{1}{\lambda_{N-1}}\text{sech}(\lambda_{N-1})\sinh(\lambda_{N-1}(x-1))\right)$$ Sin embargo, Mathematica obtiene $$M_{N-1}=\frac{fh}{d_{N-1}(\lambda_{N-1}^2-\lambda_{N}^2)}\left(\frac{1}{\lambda_N}\text{sech}(\lambda_N)\sinh(\lambda_N(x-1))-\frac{1}{\lambda_{N-1}}\text{sech}(\lambda_{N-1})\sinh(\lambda_{N-1}(x-1))\right)$$

Ahora, puedo decir con certeza que de $|\lambda_N| \ne |\lambda_{N-1}|$. Me doy cuenta de Mathematica no saben esto, y tengo la sospecha de que podría tener algo que ver con esto. Pero yo simplemente no puede encontrar una manera de llegar con el mismo resultado con la mano.

Sé que esto es un egoísta pregunta, pero ¿puede alguien paso por todo el proceso y me muestran cómo venir para arriba con Mathematica respuesta por favor!

Answer 1

La solución general de la educación a distancia

$$ u"(x) = a^2\,u(x) $$ para $a \in \mathbb{R}$ es $$ u(x) = A\sinh(ax) + B\cosh(ax) $$

El BC

$$u(1) = 0$$

a continuación, requiere $$ B = A\tanh(a) $$ así $$ u(x) = \left[\, \sinh(ax) - \tanh(a)\cosh(ax) \,\right] = A\operatorname{sech}(a) \sinh [\,\, (x-1)\,] $$ y $$ u'(x) = Aa\operatorname{sech}(a) \cosh [\,\, (x-1)\,] $$

El BC

$$u'(0) = h$$

implica entonces $$ h = Aa\operatorname{sech}(a) \cosh(a) = Aa $$ por lo $A = h/a$ y la solución es:

$$ u(x) = \frac{h}{a}\,\operatorname{sech}(a) \sinh [\,\, (x-1)\,] $$

La solución de la no homogénea de la educación a distancia $$ v"(x) = b^2\,v(x) + c\,u(x) $$ donde $b,c \in \mathbb{R}$, sometido a la BCs $v(1) = v'(0) = 0$, es la suma de la solución general de su homogénea de contraparte y una solución particular. La solución general de la homogénea ODE $v''(x) = b^2\,v(x)$ es, como antes, $$ v(x) = C\sinh(bx) + D\cosh(bx) $$

Como para una solución particular de $v''(x) = b^2\,v(x) + c\,u(x)$, vamos a probar $$ v(x) = E\,u(x) $$ donde $E$ es una constante. A continuación, $$ v"(x) = b^2\,v(x) + c\,u(x) \implica E\,u"(x) = b^2\,E\,u(x) + c\,u(x) $$ Pero $u''(x) = a^2\,u(x)$ y nos encontramos con $$ E = \frac{c}{a^2 - b^2} $$

Por lo tanto, la solución general de la $v''(x) = b^2\,v(x) + c\,u(x)$ es $$ v(x) = C\sinh(bx) + D\cosh(bx) + \frac{c}{a^2 - b^2}\,u(x) $$ asumiendo $a \ne b$. La aplicación de la BC $v(1) = 0$, y el uso de $u(1) = 0$, de la siguiente manera $$ D = C\tanh(b) $$ así $$ v(x) = C\operatorname{sech}(b) \sinh[\,b\,(x-1)\,] + \frac{c}{a^2 - b^2}\,u(x) $$ y $$ v'(x) = Cb\operatorname{sech}(b) \cosh[\,b\,(x-1)\,] + \frac{c}{a^2 - b^2}\,u'(x) $$

El BCs $v'(0) = 0$$u'(0) = h$, implica $$ 0 = Cb + \frac{ch}{a^2 - b^2} $$ a partir de la cual $$ C = - \frac{ch}{b}\frac{1}{a^2 - b^2} = \frac{ch}{b}\frac{1}{b^2 - a^2} $$

Por lo tanto, $$ v(x) = \frac{ch}{b}\frac{1}{b^2 - a^2}\,\operatorname{sech}(b) \sinh[\,b\,(x-1)\,] + \frac{c}{a^2 - b^2}\,u(x) $$ que puede ser reorganizado como

$$ v(x) = -\frac{ch}{b^2 - a^2}\, \left\{\, \frac{1}{a}\,\operatorname{sech}(a) \sinh [\,\, (x-1)\,] - \frac{1}{b}\,\operatorname{sech}(b) \sinh[\,b\,(x-1)\,] \,\right\} $$ donde el primer término proviene de $u(x)$.

Las identificaciones $$ u \quad\leftrightarrow\quad M_N $$ $$ un \quad\leftrightarrow\quad \lambda_N $$ $$ v \quad\leftrightarrow\quad M_{N-1} $$ $$ b \quad\leftrightarrow\quad \lambda_{N-1} $$ $$ c \quad\leftrightarrow\quad -\frac{f}{d_{N-1}} $$ a continuación, llevar a que el resultado obtenido por Mathematica.