¿Inserción de un anillo en un anillo polinómico inducir un mapa cerrado en spectra prime?

Question

Deje $A$ ser un conmutativa (unital) del anillo, y $A[x_1,\ldots,x_n]$ un polinomio anillo con algún número finito de variables. La inclusión $i\colon A \hookrightarrow A[x_1,\ldots,x_n]$ induce (por contracción) un continuo surjection $\mathrm{Spec}(i)\colon \mathrm{Spec}(A[x_1,\ldots,x_n]) \twoheadrightarrow \mathrm{Spec}(A)$ en el primer espectros. Es $\mathrm{Spec}(i)$ cerrado mapa de espacios topológicos? ¿Éste será el caso si $A$ es asumido Noetherian y/o integrante de dominio o campo?

Si no está cerrada, (en cualquiera de los supuestos en $A$), alguien podría proporcionar un contraejemplo?

Me doy cuenta de que probablemente es una muy estúpida pregunta. Parece que el mapa debe ser, obviamente, será cerrado o obviamente no, pero he vacilado en cuanto a que. Me parece que finalmente han ideado una prueba de que se ha cerrado, pero yo soy sospechoso de este cuasi-prueba, porque parece que para hacer un ejercicio en el que he trabajado más fácil que la sugerencia siempre indicaría, y también puede utilizar algunas de las hipótesis que se concede para el ejercicio. Además, si fuera cierto, creo haber visto alguna mención de ella en el Internet o en algún texto, y hasta ahora no lo he hecho.

Answer 1

Otro buen ejemplo para pensar, más geométrica y menos la aritmética que la de Qiaochu, es obained tomando $A = k[x]$ ($k$ un algebraicamente cerrado de campo), y considerando $k[x] \to k[x,y]$. La inducida por el mapa de los Espectros es el mapa $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$ desde el plano afín a los afín a la línea dada por la proyección $(x,y) \mapsto x$.

Esta es una (tal vez el más!) ejemplo famoso de un no-cerrada mapa en la geometría algebraica, lo que motiva la definición de espacios proyectivos, propio, completo variedades, y así sucesivamente.

A ver que no es cerrado, considere la posibilidad de la hipérbola $xy = 1$, que es un subconjunto cerrado de $\mathbb A^2$. Su imagen es el subconjunto $x \neq 0$$\mathbb A^1$, que no está cerrado.

Aquí está la imagen geométrica: a ver si un punto dado, $x_0$ $\mathbb A^1$ es en la imagen de este mapa, tenemos que tomar la línea vertical $x = x_0$ y se cruzan con una hipérbola $x y = 1$, y preguntar si o no esta intersección es no vacía. Lo que vemos es que la intersección es no vacía si $x_0 \neq 0$, pero a medida que pase el límite de $x_0 = 0$, la intersección de repente se convierte en vacío.

Esto ilustra el fenómeno general que en afín variedades, no es "la conservación de la intersección de la serie" cuando se hace continua de las deformaciones de las variedades que se cruzaba. Rectificar este problema es una de las principales motivaciones para la introducción de espacios proyectivos, o, más generalmente, completa variedades.

Técnicamente, si miramos las definiciones básicas relacionadas con variedades proyectivas, o, más en general, completa variedades, verás que "la conservación de la intersección de un número" no se menciona explícitamente, pero que la propiedad de propio (que tiene que ver con la closedness de ciertos mapas) es lo que ocupa un lugar preponderante. Esto puede parecer un poco misterioso, pero en realidad resulta que el fracaso de ciertos mapas a ser cerrada, es más o menos equivalente a la falta de conservación de la intersección de número. El ejemplo del mapa $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$ anterior ilustra cómo los dos problemas están relacionados, y esta es una razón por la que vale la pena pensar en este ejemplo muy cuidadosamente.

Answer 2

. Que $A = \mathbb{Z}_{(p)}, n = 1$. $\text{Spec } A[x]$ Tiene un punto cerrado dado por el % de morfismo $\phi : A[x] \to \mathbb{Q}$envío $x$ $\frac{1}{p}$, y este punto cerrado los mapas para el punto genérico en $\text{Spec } A$, que no está cerrada.

$A$ es noetheriano y un dominio integral, por lo que ninguna de esas hipótesis ayuda. Si $A$ es un campo $\text{Spec } A$ se compone de un solo punto.