¿Cómo calcular esta integral definida: -$\int_0^\pi \frac{x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} \,dx$?

Question

Esta pregunta fue en una prueba de tomé: calcular el valor de la integral de la $$\int_0^\pi \dfrac{x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} \,dx.$$

Yo no era capaz de resolverlo. Ahora, he tratado de hacer algunas sustituciones para$x$, pero sinceramente yo en realidad no saben cómo proceder con esta integral.

Como no he resuelto ese tipo de preguntas antes, no sé la dirección general en que tengo que ir, así que no sé cual de los esfuerzos para incluir aquí y los que no.

Todo lo que sé es que esas constantes de un & b son la fuente de muchos de los problemas por mí, pero no sé cómo deshacerse de ellos.

También quiero saber si solo hay una forma de solucionarlo (que tal vez no he practicado lo suficiente) o - como muchos otros problemas que pueden ser resueltos por más de un método.

Yo realmente apreciaría si puedo encontrar distintas soluciones a este problema aquí, pero (si usted puede ayudar) por favor no incluya ninguna increíblemente dura/ esotérico teoremas o conceptos de mayor nivel de cosas que no puedo estar en espera de conocer a mi actual nivel. Gracias!

Answer 1

Use$\int _a^b f (x)=\int _a^b f (a+b-x ) \, dx $ para obtener$2I=\int _a^b \frac {\pi}{a^2\cos^2 (x)+b^2\sin^2 (x)} \,dx $ ahora tome$\cos^2 (x) $ común y deje que$\tan (x)=t $ por lo tanto$\sec^2 (x) \, dx=dt $ espero que pueda continuar con la integral básica desde aquí.

Answer 2

\begin{align} & \int_0^\pi \frac x {a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} \, dx = I \\[10pt] & \int_0^\pi \frac x {a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} \, dx = \int_0^\pi \frac {\pi-x} {a^2\cos^2(\pi-x)+b^2\sin^2(\pi-x)} \, dx \\[10pt] I = {} & \int_0^\pi \frac{\pi-x}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} \, dx \\[10pt] = {} & \int_0^\pi \frac \pi {a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} \, dx - I \\[10pt] 2I = {} & \frac 1 {a^2} \int_0^\pi \frac{\pi\sec^2 x}{1 + \left( \frac b a \tan x \right)^2} \, dx \\[10pt] = {} & \left. \frac \pi {ab} \tan^{-1} \left( \frac b a \tan x \right) \right|_0^\pi \end{align}

La respuesta usando la famosa identidad.