Mostrar que una función$f$ está aumentando estrictamente en el intervalo$[0,1]$

Question

Deje que$f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua que no tome ninguno de sus valores dos veces y con$f(0)<f(1)$. Demuestre que$f$ está aumentando estrictamente en$[0,1]$.

Answer 1

Para$x\in (0,1)$ si$f(x)<f(0)$ entonces$f(x)<f(0)<f(1)$, entonces según el teorema del valor intermedio, existe$x<x_0 <1$ st$f(x_0)=f(0)$ una hipótesis de pizca de contradicción. Entonces para$x\in (0,1)$ tenemos$f(x)>f(0)$. Ahora considere$x<y$ y$f(x)>f(y)$. Tenemos$f(0)<f(y)<f(x)$, de modo que según el teorema del valor intermedio existe$x_1$ st$0<x_1 <x$ y$f(x_1)=f(y)$ una hipótesis de pizca de contradicción. Así que$f(x)<f(y)$ lo que queremos.

Answer 2

Sugerencia: la imagen de un intervalo cerrado y acotado bajo una función continua se cierra de nuevo, intervalo acotado, por lo tanto

PS

Supongamos que ahora hay$$f([0\,,\,1])=[f(0)\,,\,f(1)]$.

Ya que$\,x,y\in[0,1]\;\;s.t.\;\;x<y\;,\;f(x)> f(y)\;$, muestra que debe haber$\,f(x),f(y)\in[f(0),f(1)]\,$

Answer 3

Si$f$ no aumenta estrictamente, entonces existe$0\leq x_1<x_2\leq 1$ tal que$f(x_1)\geq f(x_2)$.
De$f(0)<f(1)$ concluimos que ya sea$f(0)\leq f(x_1)$ o$f(x_2)\leq f(1)$.
Ahora, en cualquier caso, use el IVT para derivar una contradicción.