Ejemplo de por qué es necesario que K sea compacto.

Question

Dada: $X$ Hausdorff, $K \subset X$ compacto.

Mostrar: Si $p \in X \setminus K $ , entonces hay dos tipos de $O_1, O_2$ tal que, $p \in O_1$ y $K \subset O_2$ abierto.

Mi respuesta a este problema no utiliza la propiedad de $K$ siendo compacto, lo que me hace dudar, si mi prueba es correcta.

Por lo tanto, me alegraría si alguien pudiera corregirlo rápidamente.

Mi respuesta: Utilizando $X$ Haussdorf: $\forall k \in K, \exists O_p , O_k \subset X$ abierto, tal que $p \in O_p$ y $k \in O_k$ (1)

Así, $K \subset \bigcup\limits_{k \in K}^{} O_k = O_2$ unión de conjuntos abiertos. Dado que $O_p$ y $O_k$ disjuntos para cualquier k, $O_p \cap O_2 = \emptyset \quad \square $

Supongo que mi prueba se equivoca en (1), ya que creo un conjunto $O_p$ por cada $O_k$ . Vamos a conseguir cuatro conjuntos específicos: $O_p$ para un $O_k$ y $O_{p'}$ para $O_{k'}$ .

Mientras que $p \in O_p, O_{p'} $ y $O_p \cap O_k = \emptyset$ , $O_{p'} \cap O_{k'}= \emptyset$ Esto no implica que $O_p \cap \cap O_{k'} = \emptyset = O_{k} \cap O_{p'} $ y creo que mi prueba se rompe. Sin embargo, lo que sería un ejemplo para ilustrar aún más, que $K$ ¿se necesita realmente ser compacto?

Answer 1

Seguro que hay un fallo en su prueba. La cuestión es que $O_p$ depende de $k \in K$ en (1).

$\mathbb R^2$ equipado con la norma euclidiana es Haussdorf. Tomemos por $K$ el disco abierto $D$ centrado en $(1,0)$ de radio $1$ y para $p$ el origen. Es imposible encontrar $O_1, O_2$ como se describe en su pregunta.

Answer 2

Es un poco fácil ver por qué esto se rompe para los conjuntos abiertos según una respuesta anterior. La parte más difícil es encontrar cómo se rompe para conjuntos cerrados, pero no compactos. El principio rector debería ser que quieres un punto que a primera vista parece un punto de acumulación pero que no lo es y quieres buscar una topología que se ajuste a ese punto.

Toma $\Bbb R$ con la topología generada por los conjuntos abiertos habituales sin un número contable de puntos. Esto significa que el conjunto $\left\{\frac{1}{n}: n\in \Bbb N\right\} $ está cerrado. ¿Hay conjuntos abiertos disjuntos que separen esto de $0$ ?

Answer 3

El principal defecto es que la vecindad de $p$ también depende de $k \in K$ :

Para cada $k \in K$ tenemos que $p \neq k$ (como $p \notin K$ ) y por lo tanto la Hausdorffness de $X$ nos da conjuntos abiertos $U_k$ y $O_k$ tal que

$$p \in U_k, k \in O_k ,U_k \cap O_k = \emptyset$$

Ahora, por supuesto $K \subseteq \bigcup_{k \in K} O_k$ por lo que tenemos una cubierta abierta de $K$ que, por la compacidad de $K$ podemos reducir a un número finito de $O_{k_1},\ldots, O_{k_n}$ tal que $$K \subseteq O:=\bigcup_{i=1}^n O_{k_i}$$

Ahora defina $$O_p = \bigcap_{i=1}^n U_{k_i}$$

que es una vecindad abierta de $p$ como finito intersección de barrios de $p$ . Y si $x \in O$ significa que $x \in O_{k_i}$ para algunos $i \in \{1,\ldots,n\}$ pero entonces $x \notin U_{k_i} \supseteq O_p$ Así que $x \notin O_p$ y así $O_p \cap O = \emptyset$ .

Está claro que no podemos tener esta separación por ningún $K$ y $p \notin K$ : en cualquier momento $p \in \overline{K}\setminus K$ tendremos que no podemos separar $p$ de $K$ casi por definición de cierre.

Gracias a Hausdorffness $K$ está cerrado en $X$ , como vimos anteriormente, e incluso podemos extender la Hausdorffness a puntos y conjuntos compactos disjuntos; incluso a conjuntos compactos y conjuntos compactos (cuando son disjuntos), más allá de un punto y un punto.