¿Qué es exactamente una "variable ficticia"?

Question

Estaba viendo un curso en línea ( El cálculo que necesitas - MIT OpenCourseWare ), cuando (alrededor de 03:08), el conferenciante (Gilbert Strang) dice que no le "importa cuál es esa variable ficticia" (la variable x asociado a la función y ). Hizo el siguiente cambio en el video:

$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}y(x) = y(x)\Rightarrow \text{ change } \Rightarrow\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}y(t)dt = y(x)$$

No sé por qué la notación de esa variable no causa ninguna ambigüedad aquí (estoy asumiendo que Strang quería decir eso), una vez que x está creando claramente una relación de dependencia con el límite y la variable asociada a la función y .

En definitiva... por qué no hace ninguna diferencia llamar a la variable asociada a y por x (en este caso)? ¿Qué es exactamente una "variable ficticia"?

Answer 1

Has hecho dos preguntas, una sobre si el nombre de una variable es importante, la otra sobre las variables ficticias. Son diferentes pero están relacionadas.

Estrictamente hablando, no importa el nombre de las variables. Si tiene una función $f$ de, digamos, $\mathbb{R}$ a sí mismo, entonces los elementos tanto del dominio como del codominio son números reales. A menudo se puede ver esto descrito como " $y = f(x)$ ". Esto no suele ser perjudicial, y a veces ayuda a mantener el significado de los números - los llamados " $x$ " están en el dominio mientras que los llamados " $y$ "están en el codominio. Pero eso no es en absoluto necesario y a veces es confuso. Debería hablar de la función $\sin$ no la función $\sin(x)$ .

Ahora, las variables ficticias. La expresión $$ \sum_{n=1}^3 n^2 $$ significa sólo $$ 1^2 + 2^2 +3^2 . $$ No hay " $n$ " en él. Se podría escribir lo mismo que $$ \sum_{@=1}^3 @^2 . $$ El $n$ y el $@$ son variables ficticias: no están ahí. Lo mismo ocurre con la "variable de integración": $$ \int_1^2 \sin(x) dx = \int_1^2 \sin(@) d@ = \int_1^2 \sin . $$ El último de ellos es inequívoco cuando se trabaja con $\sin$ como una función de valor real de una variable real.

Dicho esto, hay ocasiones en las que una variable (ficticia) de integración resulta útil. Con ella se puede distinguir entre $$ \int_1^2 \sin(xt^2) dx \text{ and } \int_1^2 \sin(xt^2) dt . $$ El primero es un número que depende del valor de $t$ el segundo un número que depende del valor de $x$ .

La variable ficticia $x$ y el $dx$ son bastante importantes cuando se piensa en las aplicaciones de las integrales en geometría y física. Si se imagina la integral de $\sin$ como calcular el área bajo la curva del seno entonces la expresión $$ \sin(x) dx $$ es el área (infinitesimal) de un rectángulo con altura $\sin(x)$ y la base (infinitesimal) $dx$ . Cada una de estas cantidades tiene unidades de longitud y su producto tiene unidades de área. El signo integral es la "S" alargada de Leibniz, de "suma".

Answer 2

Para añadir a lo que ya se ha dicho, me parece útil pensar en términos de programación. ¿Qué es una variable ficticia? Es una variable local con un alcance muy limitado -una suma, una integral u otra construcción similar- y más vale que no aparezca en ningún sitio fuera de él. Si lo hace, como en esa expresión inicial $\frac{d}{dx}\int_0^x y(x)$ obtendremos errores y resultados imprevisibles. Por ejemplo, aquí Para obtener algo que parsee, tenemos que tomar esa integral con respecto a alguna otra variable - lo que significa que dentro de la integral $x$ y $y(x)$ son constantes. Entonces obtenemos $\int_0^x y(x)\,dt=xy(x)$ por lo que su derivada con respecto a $x$ es $y(x)+xy'(x)$ y la solución de la ecuación es para $y(x)$ sea una función constante.
La ecuación después del cambio es claramente lo que se pretendía desde el principio, y no significa lo mismo que la ecuación antes del cambio. No importa cómo llamemos a la variable ficticia, siempre que tengamos cuidado de que no entre en conflicto con un nombre de variable en el exterior y cause errores fuera de alcance.

En cuanto a dejar el $d?$ fuera de la integral? No soy partidario de eso; es un delimitador, que marca claramente qué estamos integrando, y respecto a qué variable estamos integrando. Para mí es parte del signo de la integral. La única forma en que lo dejaría fuera es si la variable ficticia se omite por completo. $\int_a^b f(x)\,dx$ o $\int_a^b f$ están bien y son inequívocos; $\int_a^b f(x)$ está mal formado.