SMO 2004 pregunta 21

Question

Deje $\frac{1}{a_1}$, $\frac{1}{a_2}$, $\frac{1}{a_3}$.... ser una secuencia de números positivos definido por: $$a_1=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$$ Find the integer part of $a_{100}$. Esta pregunta fue dada en la Olimpiada de Matemáticas de Singapur en 2004 y no sigue ningún típica de la recursión funciones. ¿Alguien sabe cómo empezar ni siquiera se acercan a esta pregunta y qué tipo de motivación en hacer uso de este enfoque?

Answer 1

Esto se dio en una competencia? Me sorprendió bastante, ya que es una muy clásica problema.
Definamos $b_n$ como $a_n^2$. Entonces $$b_{n+1} = b_n + 2 + \frac{1}{b_n}$$ lleva fácilmente (por inducción) a $b_n\geq 2n-1$. Por volver a conectar con esta aproximación en el por encima de la recursividad, obtenemos $b_n \leq 2n-1+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2n-3}\right)$. En particular, $a_{100}$ es acotada entre $\sqrt{199}$ y $$\sqrt{199+H_{198}-\frac{H_{99}}{2}}\leq \sqrt{205},$$ por lo $\lfloor a_{100}\rfloor = \color{red}{14}.$

Answer 2

La tasa de crecimiento de esta secuencia puede ser modelada aproximadamente por la ecuación diferencial <span class="math-container">$y' = \frac {1}{y}$</span>

<span class="math-container">$an\approx \sqrt{2n}\ a {100} \approx 14.14$</span>