Valor absoluto en la integral indefinida

Question

Tengo que demostrar que $$ \int \left(\frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+4}}\right) = \left(\frac{-\sqrt{x^2+4}}{4x}\right) + c$$

He utilizado la sustitución $ \frac{x}{2} = \tan u$ y yo tengo: $$\frac{1}{4}\int \left(\frac{ |\cos u|\; du}{ (\sin u)^2 }\right)$$

He visto en la solución de esta tarea que $|\cos u| = \cos u$ . ¿Por qué ignoramos el valor absoluto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Al definir $x=\tan u$ y de $$-\infty<x=\tan u<\infty$$ concluimos que $$-{\pi \over 2}<u<{\pi \over 2}$$ es suficiente. En este intervalo $0<\cos u\le1$ y $$|\cos u|=\cos u$$

Answer 2

Obsérvese que el dominio de $\tan (u)$ es $u \in \big(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big)$ .

¿Dónde está $\cos(u)$ positivo? ¿Qué puede concluir de ello en relación con $\vert \cos(u)\vert$ y $\cos(u)$ ?