Problemas con poner$r=e^{-\theta \cot(\theta)}$ en forma rectangular

Question

Recientemente, me encontré con una curva polar que contiene todos(?) los números complejos $z$, los cuales satisfacen $\Im(z^z)=0$; o en otras palabras, todos los números complejos que se planteó a sí mismo, dar un número real.

La curva descrita por la ecuación de $r=e^{-\theta \cot(\theta)}$. La siguiente imagen muestra la gráfica de la ecuación de $0\leq \theta\leq 2\pi$:

La función tiene una cantidad infinita de líneas va a desaparecer en el infinito, como $\theta$ es mayor por debajo de $0$ o por encima de $2\pi$. Como lo que he sido capaz de encontrar, sólo la sección $0\leq \theta\leq 2\pi$ realmente satisface $\Im(re^{\,i\theta\, re^{\,i\theta}})=\Im(z^z)=0$. Puedo estar equivocado, porque no he mirado esto de cerca, pero esa no es la parte importante de la cuestión.

Es fácil observar que las curvas que se forman en la forma de gráfico de una interesante curva, uno de los cuales sería bueno analizar en forma rectangular. Sin embargo, el más lejano que he sido capaz de convertir entre sistemas es este:

$$x^2+y^2=e^{-{2x\over y}\arctan\big({y\over x}\big)}$$

Sin embargo, hay muchos problemas con esta ecuación:

1. La ecuación rectangular con pérdida

Cuando me gráficamente la resultante de la ecuación rectangular, no es de extrañar que he encontrado que la gráfica sólo es cierto para el primer cuadrante, el resto fue un mero artefacto reflexión:

Ahora, he de admitir que es un hermoso ojo, pero esto no es realmente lo que yo quería conseguir. ;)

2. La ecuación es (al menos en mi esfuerzo hasta ahora) insolvable para $x$ o $y$

No es tan grande de un problema, pero sería bueno para resolver de una de las variables.

Lo más importante es que quiero arreglar el problema número 1. Me siento como que debo saber cómo solucionar este problema, pero estoy teniendo un enorme brainfart. Puede alguien me apunte en la dirección correcta?

EDIT: he considerado que por ahora, que la naturaleza de la $\arctan$ o de la raíz cuadrada puede causar este problema, pero no he sido capaz de alguna manera de cambiar la expresión de uno que considera el segundo cuadrante correctamente al menos.

Answer 1

He explorado aún más la idea de que el $\arctan$ puede ser la causa de dichos problemas. Pensé que, dado que el codominio de la tangente inversa es $Y=\{y:-{\pi\over 2}<y\leq {\pi\over 2}\}$, y desde $\tan(x+\pi)=\tan x$, entonces todos los valores desde el segundo cuadrante, en realidad debería escupir los valores de los respectivos ángulos del cuarto cuadrante (cuadrante que es $\pi$ lejos del segundo cuadrante).

Así que me fui en, y resta $\pi$ desde el valor de la inversa de la tangente en el rectangular fórmula, para obtener la resultante de ángulo del segundo cuadrante se convierte en el cuarto cuadrante. Este es el resultado:

Así, como puede verse, el nuevo (azul) de la fórmula, hizo posible producir un reflejo del segundo cuadrante primer cuadrante.

Yo, entonces, negado el argumento de la arcotangente, y negada toda la exponente, para reflejar la curva a lo largo del eje y, y yo era capaz de conseguir una superposición sobre la curva real de la ecuación polar:

Aviso, que la curva azul también proporciona correcta semejanza de lo real en el tercer cuadrante. Eso es debido a que el tercer cuadrante también es $\pi$ más grande que el primer cuadrante, que cae en el codominio de la inversa de la tangente. Por lo tanto, restando $\pi$ a partir de ella, también dio lugar a la curva correcta.

Restando $2\pi$ en lugar de $\pi$ también se ha corregido el cuarto cuadrante:

Poniendo todo esto junto, me las he arreglado para desordenar una trozos rectangulares de definición de la curva ($0\leq\theta\leq 2\pi$):

$$C: \begin{cases} x^2+y^2=e^{{2x\over y}\arctan\big(-{y\over x}\big)}&\text{if}\, 0\,\leq\theta\leq {\pi\over 2}\\ x^2+y^2=e^{{2x\over y}\big(\arctan\big(-{y\over x}\big)-\pi\big)}&\text{if}\, {\pi\over 2}\,\leq\theta\leq{3\pi\over 2}\\ x^2+y^2=e^{{2x\over y}\big(\arctan\big(-{y\over x}\big)-2\pi\big)}&\text{if}\, {3\pi\over 2}\,\leq\theta\leq 2\pi\\ \end{casos}$$

En general, restando $\pi$ sucesivamente "desbloquea" los próximos dos cuadrantes de la curva.

Así, he descubierto la respuesta a mi propia pregunta :)

P. S. ¿Qué pasará con la recompensa que me había propuesto esta pregunta ahora?