Explicación intuitiva de la contribución a la suma de dos variables aleatorias normalmente distribuidas

Question

Si tengo dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas $X$ y $Y$ con medios $\mu_X$ y $\mu_Y$ y desviaciones estándar $\sigma_X$ y $\sigma_Y$ y descubro que $X+Y=c$ entonces (suponiendo que no he cometido ningún error) la distribución condicional de $X$ y $Y$ dado $c$ también se distribuyen normalmente con medias $$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$$ $$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$$ y la desviación estándar $$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$$

No es de extrañar que las desviaciones estándar condicionales sean las mismas que, dado $c$ Si uno sube, el otro debe bajar en la misma proporción. Es interesante que la desviación típica condicional no dependa de $c$ .

Lo que no me cabe en la cabeza son los medios condicionados, donde se llevan una parte del exceso $(c - \mu_X - \mu_Y)$ proporcional a las varianzas originales, no a las desviaciones estándar originales.

Por ejemplo, si tienen cero medios, $\mu_X=\mu_Y=0$ y desviaciones estándar $\sigma_X =3$ y $\sigma_Y=1$ entonces condicionado a $c=4$ tendríamos $E[X|c=4]=3.6$ y $E[Y|c=4]=0.4$ es decir, en la proporción $9:1$ aunque yo hubiera pensado intuitivamente que la proporción $3:1$ sería más natural. ¿Puede alguien dar una explicación intuitiva para esto?

Esto fue provocado por una pregunta de Math.SE

Answer 1

La cuestión se reduce fácilmente al caso $\mu_X = \mu_Y = 0$ mirando a $X-\mu_X$ y $Y-\mu_Y$ .

Es evidente que las distribuciones condicionales son normales. Por lo tanto, la media, la mediana y la moda de cada una coinciden. Los modos se producirán en las coordenadas de un máximo local de la PDF bivariada de $X$ y $Y$ limitado a la curva $g(x,y) = x+y = c$ . Esto implica que el contorno de la PDF bivariante en este lugar y la curva de restricción tienen tangentes paralelas. (Esta es la teoría de los multiplicadores de Lagrange.) Como la ecuación de cualquier contorno es de la forma $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ para alguna constante $\rho$ (es decir, todos los contornos son elipses), sus gradientes deben ser paralelos, por lo que existe $\lambda$ tal que

$$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$$

De ello se deduce inmediatamente que el modos de las distribuciones condicionales (y, por lo tanto, también de las medias) están determinadas por el cociente de las varianzas, no de las DE.

Este análisis funciona para las correlaciones $X$ y $Y$ y se aplica a cualquier restricción lineal, no sólo a la suma.