Factoriales triangulares

Question

Me encontré con una declaración en línea y he estado buscando una prueba :

Afirma que 1, 6 y 120 son los únicos números que son a la vez triangulares y factoriales.

¿Hay alguna forma de demostrarlo? Esta afirmación parece demasiado "grande" y he tratado de probarla pero

No pude. ¿Puede alguien ayudarme a probar esto?

Answer 1

He enviado un correo electrónico a Christopher Tomaszewski que, según el OEIS es la fuente de esta información. Informaré aquí si responde.

Señalaré que, por lo que veo, el documento al que enlaza Matthew Conroy no responde a esta pregunta. (Sin embargo, es un gran estudio).

Como descubrió el usuario Charles en un comentario más abajo, la profundidad en el historial de la OEIS (busque la página con la edición #105 y vea "Discusión") se puede ver el siguiente comentario de Vladimir Reshetnikov:

De la comunicación por correo electrónico con Christopher M. Tomaszewski me enteré que descubrió que su supuesta prueba de la conjetura 1-6-120 era incorrecta. Pero afirmó que no hay ningún contraejemplo por debajo de 10^77337, por lo que sigue siendo una conjetura interesante.

Answer 2

Las conjeturas y los argumentos de criba predicen un número finito de soluciones.

Si $x(x+1) = 2(n!)$ , entonces para cada potencia primera $p^a$ que divide exactamente $2(n!)$ El valor de $x$ modulo $p^a$ es $0$ o $-1$ . La "probabilidad" de esto es $\frac{2}{p^a}$ y las condiciones son efectivamente independientes entre sí si el producto de las probabilidades se toma para los primos hasta un límite $n^u$ para que sea adecuado $u<1$ . El "número esperado" de soluciones (la suma de las probabilidades de todos los $n$ ) predicho de esta manera es un número finito pequeño y, por lo tanto, sólo se espera que existan unas pocas soluciones.

Esto también lo predice la conjetura ABC. $(x) + (1) = x+1$ es una descomposición de $x+1$ , un número de tamaño cercano a $\sqrt{2(n!)}$ en sumandos extremadamente suaves cuyo producto de divisores primos es minúsculo en comparación.

Nada de esto ayuda a determinar el conjunto preciso de soluciones, pero se presume que son muy raras.

Según el artículo

Florian Luca, ¡LA ECUACIÓN DIOFANTINA P (x) = n! Y UN RESULTADO DE M. OVERHOLT GLASNIK MATEMATICˇKI Vol. 37(57)(2002), 269 - 273 ,

"encontrar todas las soluciones de la ecuación $x^2 − 1 = n!$ es un famoso problema no resuelto (véase D25 en [R. Guy, Unsolved Problems in Number Theory]) que fue planteado por primera vez por Brocard en 1876 (véase [3]) y también posteriormente por Ramanujan en 1913. Cálculos recientes de Berndt y Galway (véase [2]) mostraron que el mayor valor de n en el rango n < 109 para el que la ecuación (2) tiene una solución entera positiva x es n = 7."

No hay razón para pensar que $x(x+1)=2(n!)$ es más fácil de resolver que $(x-1)(x+1)=n!$ . De hecho, la ecuación de Brocard/Ramanujan puede escribirse como $y(y+4)=2(n!)$ con $y=2x-2$ y sería muy sorprendente que un método para resolver completamente una ecuación no resolviera también la otra.

Answer 3

Esto es una conjetura, un problema abierto. Si alguien consigue una prueba, seguro que la publicará primero y luego la publicará aquí.

Answer 4

He pensado en dar una vuelta para buscar soluciones de $x(x+1) = 2(n!)$ ya que parecía que se comprobaba "sólo" para los números hasta $10^{77337}$ . Supongo que esto fue n!, no puedo imaginar que alguien podría calcular = $10^{77337}$ !. Después de una noche mi programa Java está en n=70000 y n! = $10^{309,000}$ . Y, por supuesto, no hay más solución que 1, 6 y 120.

Siguiendo la argumentación del usuario $zyx$ anterior, intento estimar la probabilidad de que surja una solución después de n=70000 (o cualquier número n). Escribamos $2(n!) = 2^a 3^b 5^c 7^d ... p^z$ (factorización de primos). No sé qué $u$ Debería tomar para el corte $n^u$ de mis primos (usuario $zyx$ dice "adecuado $u<1$ "), pero si voy por todos los primos entonces la "probabilidad" de que un determinado 2(n!) pueda escribirse como x(x+1) es: $$P = \frac{2}{2^a} \cdot \frac{2}{3^b} \cdot \frac{2}{5^c} \cdot \; \; ... = \frac{2^{n_p}}{2^a 3^b 5^c 7^d ... p^z} = \frac{2^{(n_p-1)}}{n!}$$ donde $n_p$ es el número de primos hasta $n$ . Si nos aproximamos $n_p$ por $\frac{n}{ln(n)}$ terminamos con una probabilidad de $2^{(\frac{n}{ln(n)} -1)}$ / $n!$

Para n=70000, esta expresión es igual a aproximadamente $10^{-307,000}$ . Y la suma de las probabilidades desde n=70001 hasta el infinito es aún más pequeña. Así que con estas probabilidades debería dejar mi programa Java y ahorrar la energía para cálculos más útiles. ¿Podría alguien confirmar mis estimaciones?