Deje $S$ ser un orientable superficie cerrada con género $g \geq 1$ y deje $\gamma \subset S$ ser un inmersos curva. ¿Existe un número finito de la cubierta de $S$ donde $\gamma$ levanta a una curva que es homotópica a una incrustado curva?
Si es así, y $\gamma$ ha $k$ el doble de puntos, hay una explícita límite en el grado de lo finito de la cubierta que debemos tomar para levantar a $\gamma$ a una curva homotópica a una incrustado curva?
La existencia de lo finito cubierta que usted está pidiendo es un bien conocido consecuencia de los residuos de la finitud de la superficie de grupos, un teorema con una larga historia.
Para una discusión de ese teorema, que se inicia con la prueba de que las respuestas a su primera pregunta, vea este post y su seguimiento.
Para tu segunda pregunta no tengo una buena respuesta. También, no estoy seguro de lo que cuenta como un "explícito" enlazado. Sin embargo, sé exactamente cómo iba a ir sobre la búsqueda de un "explícito" obligado en el caso de un grupo libre, donde la prueba de residuos de la finitud es mucho más fácil. Supongo que la superficie de grupo caso también se puede hacer trabajando a través de la prueba de residuos de la finitud.
Comentario: Como se señaló en la respuesta de @MoisheCohen, mi respuesta es incompleta. Básicamente lo que he escrito, produce una cubierta de $S$ tal que algunos recorrer $\gamma^n$ ascensores integrado de la curva. El requisito adicional de que $n=1$ necesidades subgrupo de divisibilidad ideas como expalined en la otra respuesta, y como se aplica para el subgrupo cíclico generado por $\gamma$.
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