Solución de una ecuación integral con inversa Laplace transforma

Question

Deje $\alpha,\beta,\mu>0$. Estoy en busca de una solución, es decir, una función de $g(x)$, que satisface $$ \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty g(x)x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\,\mathrm dx=\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}, $$ donde $\alpha/\beta>\mu$. Tenga en cuenta que una solución de este tipo daría un estimador imparcial para $\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}$, es decir, si $X\sim\operatorname{Gamma}(\alpha,\beta)$ entonces $\operatorname Eg(X)=\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}$. Traté de resolver esto con una transformada inversa de Laplace por escrito $$ \mathcal L\left\{x^{\alpha-1}g(x)\right\}(\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^{\alpha}}\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}. $$ Me he recuperado $g(x)$ tomando la inversa de la transformación de ambos lados y luego multiplicando por $x^{1-\alpha}$. $$ \begin{aligned} g(x)% &=x^{1-\alpha}\mathcal L^{-1}\left\{\Gamma(\alpha)s^{-\alpha}\left(\frac{\alpha}{s}-\mu\right)^{-1}\right\}(x)\\ &=-\frac{x^{1-\alpha}}{\mu}\mathcal L^{-1}\left\{\Gamma(\alpha)s^{-\alpha}\left(1-\frac{\alpha/\mu}{s}\right)^{-1}\right\}(x). \end{aligned} $$ El uso de Bateman las Tablas de transformadas Integrales, volumen 1, $5.4.(9)$, esto se evalúa a $$ g(x)% =-\frac{1}{\mu}\Phi_2\left(1;\alpha;\frac{\alpha}{\mu}x\right), $$ donde $$ \Phi_2(b_1,\dots,b_n;\gamma;z_1,\dots,z_n)=\sum_{m_1=0}^\infty \cdots\sum_{m_n=0}^\infty \frac{(b_1)_{m_1}\cdots (b_n)_{m_n}}{(\gamma)_{m_1+\cdots +m_n}m_1!\cdots m_n!}z_1^{m_1}\cdots z_n^{m_n} $$ es la función hipergeométrica de $n$ variables. En este caso tenemos un hypergeomatric función de una sola variable; por lo tanto, $$ g(x)% =-\frac{1}{\mu}{_1}F_1\left(1;\alpha;\frac{\alpha}{\mu}x\right). $$

Desafortunadamente, esta solución sólo los rendimientos de resultados razonables si $\alpha/\beta<\mu$ (he intentado utilizar algunos parámetros de ejemplo en MATLAB que demuestra esto). Que dijo, lo que yo estoy interesado en el caso de las $\alpha/\beta>\mu$. La fórmula en mi tabla de transformadas integrales sólo tiene la restricción $\alpha>0$. Tal vez hay un error? ¿Cómo puedo obtener la solución a la obra de positivos $\mu$?

Podemos comprobar que la solución que parece ser la correcta. El uso de G&R fórmula $7.522.9$ encontramos $$ \begin{aligned} \operatorname Eg(X)% &=-\frac{\beta^{\alpha}}{\mu\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-\beta x}{_1}F_1\left(1;\alpha;\frac{\alpha}{\mu}x\right).\,\mathrm dx\\ &=-\frac{1}{\mu}{_2}F_1\left({1,\alpha\atop\alpha};\frac{\alpha}{\beta\mu}\right)\\ &=-\frac{1}{\mu}{_1}F_0\left({1\atop -};\frac{\alpha}{\beta\mu}\right)\\ &=-\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{\alpha}{\beta\mu}\right)^{-1}\\ &=\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}. \end{aligned} $$ Así que estoy perplejo en cuanto a por qué esta solución no funciona para $\alpha/\beta>\mu$. Una cosa que cabe destacar es que cuando se $\alpha/\beta<\mu$, el argumento de la ${_1}F_0(1;-;\alpha/(\beta\mu))$ superiores es menor que uno y para la definición de la serie converge a $\left(1-\frac{\alpha}{\beta\mu}\right)^{-1}$ en el sentido usual de la palabra. Para $\alpha/\beta\geq\mu$ el aruguement es mayor que o igual a la unidad y a la serie de la definición de la ${_1}F_0$ diverge; por lo tanto analítica continutation se utiliza. Tal vez esto se desempeña en el tema? Aquí está una prueba en MATLAB mostrando desacuerdo cuando $\alpha/\beta<\mu$:

alpha = sym(10);
beta = alpha/8;
mu = sym(5);

syms x g(x)
g(x) = -hypergeom(1,alpha,alpha*x/mu)/mu;
for i = 1:512
    X = gamrnd(double(alpha),double(1/beta));
    est(i) = vpa(g(X));
end

mean(est) = -11979.51
(alpha/beta-mu)^(-1) = 1/3

Answer 1

He descubierto que para mi aplicación el único resultado útil para $g(x)$ es uno que no contenga $\beta$ y por lo tanto depende de $\alpha$, $x$, e $\mu$. Esto me obliga el uso de transformadas de Laplace para resolver el problema. Estoy publicando esta solución como resultado de los comentarios de @reuns y @máxima que analiza el uso de Mellin transforma. La ecuación de los números de referencia son de Bateman et. al. Tablas de transformadas Integrales.

Para comenzar, hemos $$ \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-\beta x}g(x)\,\mathrm dx=\left(\frac{\alpha}{\beta}-\mu\right)^{-1}. $$ En términos de la Mellin transformar podemos escribir esta ecuación integral como $$ \mathcal M\{e^{-\beta x}g(x)\}(\alpha)=\Gamma(\alpha)\beta^{-\alpha}\beta(\alpha\beta\mu)^{-1}% \implica% g(x)=e^{\beta x}\mathcal M^{-1}\{h_1(\alpha)h_2(\alpha)\}(x), $$ donde $h_1(\alpha)=\Gamma(\alpha)\beta^{-\alpha}$ e $h_2(\alpha)=\beta(\alpha-\beta\mu)^{-1}$. Por $6.1.(14)$ escribimos la inversa de la transformación de la $$ g(x)=e^{\beta x}\int_0^\infty t^{-1}\mathcal M^{-1}\{h_1(\alpha)\}(x/t)\mathcal M^{-1}\{h_2(\alpha)\}(t)\,\mathrm dt. $$ Por $6.3.(1)$ nos encontramos con $\mathcal M^{-1}\{h_1(\alpha)\}(x)=e^{-\beta x}$. Además, queremos que $\alpha/\beta>\mu$ para el uso de $7.1.(3)$ tenemos $\mathcal M^{-1}\{h_2(\alpha)\}(x)=\beta x^{-\beta\mu}\mathbf 1_{(0,1)}(x)$. Sustituyendo estos resultados en la integral para $g(x)$rendimientos $$ g(x)=\beta e^{\beta x}\int_0^\infty t^{-1}e^{-\beta x/t}t^{-\beta\mu}\mathbf 1_{(0,1)}(t)\,\mathrm dt% =\beta e^{\beta x}\int_0^1 t^{-\beta\mu-1}e^{-\beta x/t}\,\mathrm dt. $$ Deje $u=\beta x/t\implies t=\beta x/u$, $\mathrm dt=-\beta x/u^2\,\mathrm du$, luego $$ g(x)=\beta (\beta x)^{-\beta\mu}e^{\beta x}\int_{\beta x}^\infty u^{\beta\mu-1}e^{-u}\,\mathrm du=\beta (\beta x)^{-\beta\mu}e^{\beta x}\Gamma(\beta\mu\beta x). $$ Por último, el uso de DLMF $8.5.3$ podemos expresar este resultado como $$ g(x) = \beta\, U(1,1+\beta\mu\beta x), $$ donde $U(a,b,z)$ es la función hipergeométrica confluente de la segunda clase.

Aquí hay algunos ejemplos de parámetros implementados en MATLAB:

mu = sym(1);
alpha = sym(10);
sigma = sym(sqrt(5));
beta = alpha/sigma^2;
syms x g(x)
g(x) = beta*kummerU(1,1+beta*mu,beta*x);
E = (alpha/beta-mu)^(-1);

for i = 1:512
    X = gamrnd(double(alpha),double(1/beta));
    est(i) = vpa(g(X));
end

vpa(E)
mean(est)

Los resultados del código muestran de acuerdo con la derivada resultado. Gracias a @reuns y @máxima para sus pensamientos.