Cuando el polinomio característico no dividir en factores lineales yo plantearía de la siguiente manera.
Una manera de probar la existencia de la mayoría de las formas canónicas es la observación de que tener una transformación lineal $T:V\to V$ nos permite activar $V$ a una $\Bbb{F}[x]$-módulo dejando $x$ actuar como $T$. Más precisamente, si $v\in V$ e $p(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\Bbb{F}[x]$ son arbitrarias, definimos
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p(x)\cdot v=\sum_{i=0}^na_i T^i(v).
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De todos modos, vamos a ver donde este enfoque nos lleva.
Como $V$ fue asumido para ser finito dimensionales, se convierte en un finitely generadas $\Bbb{F}[x]$-módulo. Un polinomio anillo sobre un campo es un PID (un dominio Euclídeo, incluso), por lo que la estructura de f.g. los módulos a través de un PID nos permite escribir $V$ como una suma directa de uf cíclico módulos
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V=\bigoplus_{j=1}^rV_j,
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donde cada sumando $V_j\simeq \Bbb{F}[x]/\langle p_j(x)\rangle$ para algunos no constante polinomio $p_j(x)\in\Bbb{F}[x]$.
Si $p_j(x)=\prod_\ell q_\ell(x)^{a_\ell}$ es una factorización de $p_j(x)$ en un producto de potencias de polinomios irreducibles $q_\ell(x)$, entonces el polinomio variante del Teorema del Resto Chino nos permite continuar con dividir el submódulos
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\Bbb{F}[x]/\langle p_j(x)\rangle=\bigoplus_\ell\Bbb{F}[x]/\langle q_\ell(x)^{a_\ell}\rangle.
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Poniendo todo esto junto vemos que $V$ puede ser escrita como una suma directa de los módulos de la forma $\Bbb{F}[x]/\langle r(x)^a\rangle$ para algún polinomio irreducible
$r(x)\in\Bbb{F}[x]$ y entero positivo $a$. Tal descomposición (en submódulos) es automáticamente también una descomposición en $T$-estable subespacios.
Vamos a extraer una cosa más de la teoría de los módulos a través de un PID. Para cada polinomio irreducible $r(x)$ podemos definir el $r$-potencia de torsión submódulo
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V_r:=\{v\V\mediados de r(x)^k\cdot v=0\ \text{para algún entero $k>0$}\}.
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En mi opinión los subespacios $V_r$ natural analógica de la generalizada subespacios propios. Después de todo, si $\Bbb{F}$ ser algebraicamente cerrado, se tendría necesariamente $r(x)=x-\lambda$ para algunos $\lambda\in\Bbb{F}$, y en la definición de $V_r$ se convierte en la definición de una política generalizada de espacio propio.
El submódulo $V_r$ es la suma directa de todos los anteriores sumandos $\Bbb{F}[x]/\langle q_\ell(x)^{a_\ell}\rangle$ donde el polinomio irreducible $q_\ell(x)=r(x)$.
Mi idea principal era que cuando el polinomio característico no dividir en factores lineales, que se siente natural para aglutinen conjugar valores propios, es decir, los ceros de una irreductible factor del polinomio característico. El de arriba subespacios $V_r$ convertido, sobre la extensión de escalares, la suma de la generalizada subespacios propios pertenecientes a todos los conjugado de autovalores.
Es fácil construir un análogo de un bloque de Jordan en esta configuración. Un submódulo de la forma $\Bbb{F}[x]/\langle r(x)^a\rangle$ a continuación, se corresponde con un $ab\times ab$ matriz, $b=\deg r(x)$. A lo largo de su diagonal tenemos $b\times b$-bloques que representan a $r(x)$. Podemos organizar los de la diagonal de bloques para llegar a ser, digamos, compañero de matrices de $r(x)$. Luego, en la parte superior de la diagonal principal tenemos los bloques de la forma $I_b$, de forma análoga a los $1$ en la parte superior de la diagonal de un bloque de Jordan en el caso de $b=1$.
