6 votos

"Inverso" al teorema "la suma de las raíces de la unidad es igual a 0"

Es bien sabido que la suma de las raíces de la unidad es igual a 0. Sin embargo, si $\sum_j \exp(i \phi_j)=0$ ¿podemos decir algo sobre la relación entre el $\exp(i \phi_j)$ 's? Por ejemplo, podemos girar una de ellas a la posición de 1, ¿podemos decir que las otras unidades, al menos un subgrupo de ellas, caen sobre las raíces de la unidad?

Supongamos que tomamos los ángulos $0, \pi/3, \pi, 4 \pi/3$ . Entonces $\exp(0) + \exp(i \pi/3) + \exp(i \pi) + \exp(i 4\pi/3) = 0$ pero podemos separar estas unidades en los conjuntos $\{0, \pi\}$ y $\{\pi/3, 4\pi/3\}$ , las primeras corresponden a las raíces de la unidad y las segundas a las raíces de la unidad después de la rotación.

Mi impresión es que hay un contraejemplo evidente, pero hasta ahora no lo he encontrado. Se agradece cualquier idea.

0 votos

Estoy confundido. $\exp(i\pi/3)$ y $\exp(4i\pi/3)$ son ambos raíces cúbicas de la unidad. ¿Intentas restringirte a las raíces cuadradas?

0 votos

Por suma de raíces de la unidad, por supuesto se refiere al conjunto de todas las raíces de la unidad correspondientes a algún número $n$ En este caso me refiero a que $\pi/3$ y $4\pi/3$ pertenecen a un conjunto completo de raíces de la unidad correspondientes a 2, después de una rotación. Por supuesto, no es necesario que sean sólo raíces cuadradas.

0 votos

Ya veo. Lo siento, lo entendí mal en mi primera lectura.

4voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Geométricamente tal suma corresponde a un polígono (no necesariamente convexo, posiblemente auto-intersecante) todos cuyos lados tienen longitud $1$ los vértices del polígono son $0, \exp(i \phi_1), \exp(i \phi_1) + \exp(i \phi_2)$ etc. No es necesario que los ángulos implicados sean raíces de la unidad; por ejemplo, podría ser un rombo. El caso de que todas las raíces de la unidad sumen cero corresponde a un $n$ -gon.

0 votos

Gracias por el comentario. En primer lugar, si se auto-intersecan, reordenar hasta que no se auto-intersecan. En segundo lugar, para $\exp(i\phi_1)+\exp(i\phi_2)$ para ser un vértice, $\phi_2$ está definida de forma única por $\phi_1$ si los vértices se ordenan en sentido contrario a las agujas del reloj. En tercer lugar, los vértices no tienen que corresponder a un conjunto completo de raíces de la unidad ( es decir $\exp(2\pi i n /N)$ para algunos $N$ ) pero pueden ser un conjunto completo después de una rotación, o pueden estar formados por varios conjuntos completos de raíces de la unidad para diferentes $N$ 's. En cuarto lugar, el único rombo cíclico es un cuadrado, que corresponde a las raíces de la unidad de N=4.

0 votos

@enoch: No entiendo tu último comentario. No es necesario que el polígono sea cíclico. De forma muy explícita, considera $1 + z + (-1) + (-z)$ para cualquier $z = \exp(i \phi)$ .

0 votos

Tu ejemplo es un polígono cíclico y no técnicamente un rombo, pero entiendo tu punto. El polígono debe ser cíclico por definición porque sus vértices están en el círculo. Además lo que propones está formado por dos conjuntos $\{1,-1\}$ y $\{z, -z\}$ . Ambos son raíces de unidad para $N=2$ sólo que el segundo conjunto requiere una rotación. Puedes ver que he utilizado el mismo ejemplo con $z=\exp(i \pi/3)$ en el puesto principal.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X