"Inverso" al teorema "la suma de las raíces de la unidad es igual a 0"

Question

Es bien sabido que la suma de las raíces de la unidad es igual a 0. Sin embargo, si $\sum_j \exp(i \phi_j)=0$ ¿podemos decir algo sobre la relación entre el $\exp(i \phi_j)$ 's? Por ejemplo, podemos girar una de ellas a la posición de 1, ¿podemos decir que las otras unidades, al menos un subgrupo de ellas, caen sobre las raíces de la unidad?

Supongamos que tomamos los ángulos $0, \pi/3, \pi, 4 \pi/3$ . Entonces $\exp(0) + \exp(i \pi/3) + \exp(i \pi) + \exp(i 4\pi/3) = 0$ pero podemos separar estas unidades en los conjuntos $\{0, \pi\}$ y $\{\pi/3, 4\pi/3\}$ , las primeras corresponden a las raíces de la unidad y las segundas a las raíces de la unidad después de la rotación.

Mi impresión es que hay un contraejemplo evidente, pero hasta ahora no lo he encontrado. Se agradece cualquier idea.

Answer 1

Geométricamente tal suma corresponde a un polígono (no necesariamente convexo, posiblemente auto-intersecante) todos cuyos lados tienen longitud $1$ los vértices del polígono son $0, \exp(i \phi_1), \exp(i \phi_1) + \exp(i \phi_2)$ etc. No es necesario que los ángulos implicados sean raíces de la unidad; por ejemplo, podría ser un rombo. El caso de que todas las raíces de la unidad sumen cero corresponde a un $n$ -gon.