Es bien sabido que la suma de las raíces de la unidad es igual a 0. Sin embargo, si $\sum_j \exp(i \phi_j)=0$ ¿podemos decir algo sobre la relación entre el $\exp(i \phi_j)$ 's? Por ejemplo, podemos girar una de ellas a la posición de 1, ¿podemos decir que las otras unidades, al menos un subgrupo de ellas, caen sobre las raíces de la unidad?
Supongamos que tomamos los ángulos $0, \pi/3, \pi, 4 \pi/3$ . Entonces $\exp(0) + \exp(i \pi/3) + \exp(i \pi) + \exp(i 4\pi/3) = 0$ pero podemos separar estas unidades en los conjuntos $\{0, \pi\}$ y $\{\pi/3, 4\pi/3\}$ , las primeras corresponden a las raíces de la unidad y las segundas a las raíces de la unidad después de la rotación.
Mi impresión es que hay un contraejemplo evidente, pero hasta ahora no lo he encontrado. Se agradece cualquier idea.
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Estoy confundido. $\exp(i\pi/3)$ y $\exp(4i\pi/3)$ son ambos raíces cúbicas de la unidad. ¿Intentas restringirte a las raíces cuadradas?
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Por suma de raíces de la unidad, por supuesto se refiere al conjunto de todas las raíces de la unidad correspondientes a algún número $n$ En este caso me refiero a que $\pi/3$ y $4\pi/3$ pertenecen a un conjunto completo de raíces de la unidad correspondientes a 2, después de una rotación. Por supuesto, no es necesario que sean sólo raíces cuadradas.
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Ya veo. Lo siento, lo entendí mal en mi primera lectura.