Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{y+2y^5}{4x+y^4}$

Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dx}=\frac{y+2y^5}{4x+y^4}$$

Yo:

podemos escribir la ecuación como:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^3}\frac{\left(1+2y^4\right)}{1+\frac{4x}{y^4}}$$

Multiplicando ambos lados con $\frac{1}{y^5}$ obtenemos:

$$\frac{1}{y^5}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^8}\frac{y^4(2+\frac{1}{y^4})}{1+\frac{4x}{y^4}}=\frac{1}{y^4}\frac{(2+\frac{1}{y^4})}{1+\frac{4x}{y^4}}$$

Ahora dejando $$\frac{1}{y^4}=t$$ obtenemos

$$\frac{-1}{4}\frac{dt}{dx}=\frac{t^2+2t}{4tx+1}$$

De cualquier manera aún más para convertir en variables separables?

Answer 1

Este es un "casi" exacta de la ecuación. Escribir en $A(x,y)\text dx + B(x,y)\text dy=0$ forma

$$(-y-2y^5)\text dx + (4x+y^4)\text dy = 0$$

A continuación, busque una función de $\mu(y)$ tales que

$$ (-y-2y^5)\mu(y)\text dx + (4x+y^4)\mu(y)\text dy = 0 $$

Deje $\mu(y) = y^{-5}$. Entonces, la ecuación se convierte en

$$ (-y^{-4}-2)\text dx + (4xy^{-5}+y^{-1})\text dy = 0 \\ \text d\left[ -xy^{-4} - 2x + \log y \right] = 0$$

Integrando, obtenemos

$$ -xy^{-4} - 2x + \log y = C $$

La solución para $x$ nos da

$$ x = \frac{y^4}{2y^4+1}\log(cy) $$

La solución para $y$ en términos de la función $W(z)$ tal que $W(z)\exp(W(z)) = W(z\exp(z)) = z$,

$$y = \left( \frac{4x}{W(kx\exp(-8x))} \right)^\frac{1}{4}$$

Answer 2

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y+2y^5}{4x+y^4}$$

$$(y+2y^5)\frac{dx}{dy}-4x=y^4$$ Teniendo en cuenta la función de $x(y)$ esta es una de primer orden lineal de la educación a distancia. La resolución de este tipo de educación a distancia es un clásico. El resultado es : $$x(y)=\frac{y^4}{2y^4+1}\ln(c\:y)$$ $y(x)$ es la función inversa. No puede ser expresado con un número finito de funciones elementales. Una forma cerrada requiere de una especial función W(X) de la función W de Lambert. $$y(x)=\left(\frac{4x}{\text{W}(C\:xe^{-8x})}\right)^{1/4}$$ $C$ es una constante arbitraria, a determinar de acuerdo a alguna condición de frontera.