Cómo probar que$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{n+1}}{k!}=eB_{n+1}$

Question

A través de algunos de cálculo, se puede demostrar que $$e = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\vdots}{4}}{3}}{2}}{1}\tag{1}$$ $$2e = 1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{\vdots}{4}}{3}}{2}}{1}\tag{2}$$ $$5e = 1+\cfrac{2^2+\cfrac{3^2+\cfrac{4^2+\cfrac{\vdots}{4}}{3}}{2}}{1}\tag{3}$$ En general, ¿cómo puedo demostrar que

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{n+1}}{k!}=eB_{n+1}=1+\cfrac{2^n+\cfrac{3^n+\cfrac{4^n+\cfrac{\vdots}{4}}{3}}{2}}{1}$$ donde $B_n$ es el $n^{th}$ Campana número.

Vi a una pregunta similar en Brilliant.org pero yo no preste mucha atención a la prueba, y terminé olvidando cómo probar este tipo de problema. Recuerdo que la prueba consiste en simplificar el denominador y se mueven de arriba a abajo para que la final denominador es en forma de $n!$, que es el criterio para la serie de Maclaurin.

Aquí está la información de fondo de la Serie Infinita $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$

Answer 1

Después de algunos trabajos, recordar el método de Brilliant.org. Esto no es una prueba rigurosa, pero es un sentido intuitivo.

Primero probaremos la primera ecuación. Tenga en cuenta que <span class="math-container">$$\begin{align} 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\vdots}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}&=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{5}+\cfrac{\vdots}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{4\cdot5}}{3}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3\cdot4}+\cfrac{1}{3\cdot4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{3\cdot4\cdot5}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2\cdot3}+\cfrac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cfrac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{2\cdot3\cdot4\cdot5}}{1}\ &=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+\cfrac{1}{4!}+\cfrac{1}{5!}+\cdots\ &=\color{red}e\tag{1} \end {Alinee el} $</span> entonces procedemos a la segunda ecuación. <span class="math-container">$$\begin{align} 1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{6+\vdots}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}&=1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{6}{5}+\cfrac{\vdots}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5}{4}+\cfrac{6}{4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{4\cdot5}}{3}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3\cdot4}+\cfrac{6}{3\cdot4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{3\cdot4\cdot5}}{2}}{1}\ &=1+\cfrac{2+\cfrac{3}{2}+\cfrac{4}{2\cdot3}+\cfrac{5}{2\cdot3\cdot4}+\cfrac{6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\cfrac{\vdots}{2\cdot3\cdot4\cdot5}}{1}\ &=1+\cfrac{2}{1!}+\cfrac{3}{2!}+\cfrac{4}{3!}+\cfrac{5}{4!}+\cfrac{6}{5!}+\cdots\ &=\sum{n=1}^{\infty}\cfrac{n^2}{n!}\ &=\color{red}{2e}\tag{2} \end {Alinee el} $</span> Entonces, usando la misma lógica, tiene <span class="math-container">$$\sum{k=1}^{\infty}\frac{k^{n+1}}{k!}=eB_{n+1}=1+\cfrac{2^n+\cfrac{3^n+\cfrac{4^n+\cfrac{\vdots}{4}}{3}}{2}}{1}$ $</span>