Actualización
Como Barry Cipra se indicó en los comentarios, un mejor encuadre de la pregunta podría ser que estoy viendo las diferencias absolutas $|a−b|$ o totales $a+b$ $5$- suave números de $a$ $b$ la satisfacción de las condiciones de $a>b>1$, mcd$(a,b)=1$, e $30∣ab.$
Pregunta Original
Es cierto que $251$ no puede ser hecho a partir de la diferencia absoluta entre el (o total) $2$ coprime números compone de TODOS los factores primos $2,3,$ $5$ (con un mínimo exponente:$1$)?
$251, 431, 487, 499, 539, 541, 583, 593, 599, 617, 641, 713, 727, 731, 751, 761, 767, 781, 811, 823, 853, 857, 863, 877, 899, 901, 941, 943, 953, 961, 971, 983\puntos$
o, alternativamente,
$251,431,487,499,7^2\cdot 11,541,11\cdot 53,593,599,617,641,23\cdot 31,727,17\cdot 43,751,761,13\cdot 59,11\cdot 71,811,823,853,857,863,877,29\cdot 31,17\cdot 53,941,23\cdot 41,953,31^2,971,983\dots$
Me interesaría si cualquiera de estos números se pueden "caer" de la lista. He intentado combinatorally hasta exponente $70$ pero no he encontrado nada. Curiosamente, el mayor exponente utilizado en cualquier otro número $<1000$$11$.
La lista de números de coprime a $2,3$ $5$ comienza:
\begin{align} &| 3-2\cdot 5|&=&7 \\ &|3\cdot 5 -2^2|&=&11\\ & |3\cdot 5-2|&=&13 \\ &| 3-2^2\cdot 5|&=&17 \\ &|5-2^3\cdot 3|&=&19 \\ &|5^2-2^4\cdot 3|&=&23\\ &|3^2\cdot 5-2^4|&=&29 \\ &|5-2^2\cdot 3^2|&=&31 \\ &|3-2^3\cdot 5|&=&37\\ &|3^2\cdot 5-2^2|&=&41\\ &|5-2^4\cdot 3|&=&43 \\ &|3-2\cdot 5^2|&=&47 \\ &|3\cdot 5-2^6|&=&49\\ &|3^3-2^4\cdot 5|&=&53 \\ &|3\cdot 5^2-2^4|&=&59\\ &|3^4-2^2\cdot 5|&=&61 \\ &|5-2^3\cdot 3^2|&=&67\dots\\ \end{align}
con exponente $11$ ejemplo:
\begin{align} &|3^2\cdot 5^3-2^{11}|&=&923\\ \end{align}
$15$ siendo el más alto exponente en todas las combinaciones de exponente $70$:
\begin{align} &|3^8\cdot 5-2^{15}|&=&37\\ \end{align}
Tengo una sensación de que el problema puede estar relacionado con la McNugget de números, pero no estoy seguro. No puedo pensar en una razón por la que todos los números coprime a $2,3$ $5$ no puede ser generada de esta forma, y estaría muy interesado si alguien podría señalar por qué no debería ser el caso.
También me gustaría saber si esto es un $NP$-problema difícil, o si hay un enfoque más económico que agotar todas las combinaciones.
Nota
Dejando fuera cualquier cosa exponente $0$ es una restricción importante, ya que, si se ignora, la lista resultante se convierte en todos los números enteros, frente a todos los enteros coprime a $2,3$ $5.$
