Encuentre la fórmula para la función de$n$ regresando$0$ si$n$ es compuesto y$1$ si$n$ es primo

Question

Problema de ejemplo:

Encuentre una ecuación $\theta(n)$ para que $\theta(n)=\left\{ \begin{array} &0, \text{when } n\in \text{Composed} \\ n, \text{when } n\in \text{Prime} \end{array} \right.$

Este problema es de la Internacional de la Juventud Math Challenge $2018$ y ya no vuelven marcado hojas, yo estoy seguro de si mi solución era correcta.

Mi respuesta final fue: $$\theta (n)=n-n\cdot \text{sgn} \left(\prod_{i=1}^{\infty} |n-p_i|\right)$$ where $p_i$ is the $i^{\text{th}}$ de número primo. Esto es todo lo que podría venir para arriba con y para ser honesto, no estoy demasiado contento con él, porque me siento como que básicamente han elegido algo que sólo le dará la respuesta que yo quiero. Es esta la solución correcta, matemáticamente? Hay una solución mejor?

Nota: $\text {sgn}(n)$ es el $\text{sign}$ o $\text{signum}$ función y $$\text{sgn}(n)=\left\{ \begin{array} &-1; \ \ n\lt 0\\ \ \ \ 0; \ \ n=0\\ \ \ \ 1; \ \ n\gt 0 \end{array} \right.$$

Answer 1

No estoy seguro de qué tipo de funciones son permitidos, pero aquí es similar (podría ser equivalente después de algunos pequeños cambios), las diferencias de ser es finito y no requiere de la habilidad para seleccionar los números primos:

Para cualquier entero positivo $p$, definen esta función $$ f(n,p):= \left\lceil \frac{n-p\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}{n} \right\rceil $$ Si $p$ divide $n$ entonces $f(n,p)=0$, de lo contrario $n-p\lfloor n/p\rfloor\neq 0$ lo $f(n,p)=1$.

Usted puede utilizar esto para hacer lo siguiente: $$ \theta(n):= n - n\prod_{p=2}^{n-1}f(n,p) $$ Si $n$ es compuesto entonces uno de los $p$'s va a hacer que el producto $0$ y, por tanto, $\theta(n)=n$. De lo contrario, $n$ es el primer y el producto es $1$, dando a $\theta(n)=0$.

Answer 2

Buen intento; Pero hay algo que necesita ser arreglado. Cuando $n$ es compuesto, el producto se desvía a $\infty$ ; por lo que debe definir $\text {sgn} (\infty) = 1$ .

Answer 3

En lugar del signo de la función, usted podría utilizar la delta de Kronecker, que se define como

$$\delta_{mn}=\begin{cases} 1 & \text{if }n=m\\ 0 & \text{if }n\neq m \end{casos}$$

Básicamente compara dos números y da $1$ si hay un partido y $0$ lo contrario. Sumando más de tales delta de Kronecker, usted podría construir:

$$\theta(n)=n\sum_{i=1}^{\infty}\delta_{np_i}$$

(donde $p_i$ es el $i$-ésimo número primo). Sin embargo, me pregunto si esto podría ser aceptada porque es como que elude la cuestión de la "comprobación de si $n$ es de primera". Tanto nuestras fórmulas son simplemente una reformulación de la "text-formulario de" la fórmula dada en la pregunta, así que no estoy seguro de que este era el tipo de respuesta que se esperaba.