Encontrar $p, q, r$ primer números tal que $r^2 - q^2 - p^2 = n^2$.

Question

Encontrar $p, q, r$ números primos $p < q < r$ que no existe número natural $n$ tal que $r^2 - q^2 - p^2 = n^2$.

Lo que he hecho hasta el momento es el de obtener el menor número $p$ que es $2$. La razón es que si asumimos que $p$ es impar, como $p$ es el más pequeño de los 3 números primos, a continuación, $q, r$ también son impares y por lo tanto así es $n$.

Entonces, si nos re-escribir la inicial de la relación como: $(r - p)(r + p) = n^2 + q^2$, vemos que 4 divide $(r - p)(r + p)$, por lo que 4 también debe dividir $n^2 + q^2$. Pero como $n$ e $q$ son impares, tenemos que $n^2 + q^2 = (2k + 1)^2 + (2l + 1)^2 = 4(k^2 + l^2 + k + l) + 2$ que es obvio que no es un múltiplo de 4.

Por lo tanto, $p$ debe ser igual a 2.

Para $q$ e $r$ he intentado utilizar otros similares divisores de argumentos (como yo creo que la única solución es $(2,3,7)$), pero ninguna de ellas funciona, así que si usted tiene alguna sugerencia, le estaría muy agradecido.

Answer 1

Suponga $q$ e $r$ son primos más grandes que $3$. Entonces no es un múltiplo de a$3$, por lo que sus plazas se $1$ mod $3$. A continuación, $r^2-q^2-p^2$ se $2$ mod $3$, así que no es un cuadrado.

Así que necesitamos a$q=3$. Entonces necesitamos $r^2-13=n^2$ y hay sólo un número finito de pares de cuadrados diferenciándose por $13$, y como se encontró $7^2-13=6^2$ es la única solución.