¿Todos los números altamente compuestos son pares?

Question

Un número altamente compuesto es un número entero positivo con más divisores que cualquier número entero positivo más pequeño. ¿Son todos los números altamente compuestos pares (excluyendo el 1, por supuesto)? No encuentro nada sobre esta cuestión en Internet, así que sólo puedo suponer que obviamente lo son. Pero no veo por qué.

Answer 1

Sí. Dado un número impar $n$ , elija cualquier factor primo $p$ y que $k\geq 1$ sea el número tal que $p^k\mid n$ pero $p^{k+1}\not\mid n$ . Entonces $n\times\frac{2^k}{p^k}$ tiene el mismo número de factores y es más pequeño.