Función de Green del problema de Dirichlet

Question

Dejemos que $G(y,x)$ sea la función de Green para el problema de Dirichlet de la ecuación de Laplace en el dominio $\Omega$ con límite suave. Demuestre que $$K(y,x):=\frac{\partial}{\partial \textbf{n}_y}G(y,x)\geq 0, \forall y \in \partial \Omega, x \in \Omega$$ En el que $\textbf{n}_y$ es la normal unitaria exterior.

Recordemos que la función de Green para la ecuación de Laplace con la condición de contorno de Dirichlet saisfies $$\begin{cases}\Delta_y G(y,x)=\delta (y-x), &\forall y \in \Omega\\ G(y,x)=0, &\forall y\in \partial \Omega\end{cases}$$ Observación: Sé que $\frac{\partial}{\partial \textbf{n}_y}G(y,x)$ es armónico en $x$ en $\Omega$ (para cada fijo $y\neq x$ ) y $\int_{\partial \Omega}\frac{\partial}{\partial \textbf{n}_y}G(y,x)dS_y=1.$ Pero parece que no están directamente relacionados con $K(y,x)\geq0.$ (Quiero aplicar el principio de máxima a $K$ pero hay poca información sobre $K$ en $\partial\Omega.$ )

Answer 1

Pista: demuestre que $\int_{\partial \Omega}{K(y,x)g(y)\mathrm{d}y}\geq 0$ para cualquier función no negativa $g(y)$ en $\partial \Omega$ .