Una pregunta sobre el producto interior y el proceso de Gram-Schmidt

Question

Sea la siguiente forma bilineal: $\int_0^1f(x)g(x)x\,dx$ que actúa sobre los polinomios de grado $\leq2$ . Necesitaba demostrar que es un producto interno y luego encontrar una base ortonormal. Necesitaba utilizar el proceso de Gram-Schmidt.

Entonces, cuando hago que los vectores que encuentro sean de longitud uno, ¿cuál es el producto interno que uso? Digamos que algún vector de base si $h$ entonces la normal de los vectores es $\sqrt{\int_0^1h(x)h(x)x\,dx}$ o es el producto interno "estándar $\sqrt{\int_0^1h(x)h(x)\,dx}$ ? En otras palabras, cuando una base es ortonormal, es ortogonal y de longitud uno de acuerdo a algún producto interno específico y no necesariamente otros?

Gracias de antemano.

Answer 1

La integral definida es su Producto Interior. Ahora, para construir todos los polinomios que tienen grado menor o igual a 2 necesitas una base como $x^0$ , $x$ y $x^2$ .

$$B_{x^0}^N=1,\text{ as }\int\limits_0^1~1\cdot1=1$$

$$B_{x^1}=x-\frac{1}{2}=x-\frac{\langle 1,x\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot1$$

Ahora, la norma de $x-\frac{1}{2}$ es $\sqrt{\frac{1}{12}}$ dada por la integral que has publicado.

$$B_{x^1}^N=2\sqrt{3}·x - \sqrt{3}$$

Te dejaré adivinar el vector que abarca el $x^2$ parte.