¿Lo que ' s el punto del mapa de herradura?

Question

En este momento estoy haciendo un proyecto acerca de la herradura de Smale mapa. Esta es una función que asigna un cuadrado de $D= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le 1,\text{ } 0\le y \le 1 \} $ a un 'herradura'. Los contratos de la $x$-dirección, se expande el $y$-dirección y pliegues alrededor, como en la imagen:

El objetivo del texto es el estudio de los invariantes establecidos en virtud de $f$: estamos interesados en los puntos que va a permanecer para siempre en la $D$ si se aplican $f$ o $f^{-1}$ arbitrarias a menudo. Es decir, queremos mirar el conjunto $...\cap f^{-1}\cap D\cap f(D)\cap f^2(D)\cap ...$

Por lo tanto, sólo es necesario definir la función de $H_0$$H_1$, porque el resto de los elementos que se asignan fuera de $D$, así que simplemente ignorarlos. $H_0, H_1$ puede ser descrito como:

\begin{equation} H_0= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le 1, \text{ } 0\le y \le 1/{\mu} \} \end{equation}

\begin{equation} H_1= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\le x\le 1, \text{ } 1-1/{\mu} \le y \le 1 \} \end{equation}

Entonces, la definición de los subconjuntos es como sigue:

\begin{equation} H_0: \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \end{equation}

\begin{equation} H_1: \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\\mu \end{pmatrix} \end{equation}

Si seguimos aplicando $f$ sobre el dominio, el conjunto de $D\cap f(D) \cap f^2(D) \cap ...$ desarrollará de la siguiente manera:

Mientras que si seguimos aplicando $f^{-1}$ se obtiene el siguiente resultado:

Como se puede ver, si se toma la intersección de ambos, y dejando que el número de iteraciones que se van a infinito, obtenemos las intersecciones de horizontal y vertical de los rectángulos, los cuales son sólo puntos.

Por lo tanto, ahora mi pregunta es: ¿Cuál es el punto de esto? ¿Cuáles son los teóricamente aspectos interesantes de este mapa? ¿Qué aplicaciones existen para este mapa?

Answer 1

La herradura mapa es un ejemplo de un tiempo discreto sistema dinámico con propiedades interesantes. Considere lo que sucede con dos puntos de $x_1$ $x_2$ que son arbitrariamente cerca juntos y el seguimiento de sus imágenes bajo reiterado de aplicación de la herradura mapa. Son sus órbitas (es decir, los conjuntos de $\{f^n(x_i)\}_{n=1,2,\dots}$ relacionados? Se quedan juntos? En realidad no es así. La dinámica de este mapa es caótico, considere la posibilidad de la página de Wikipedia para más aclaración.

Por cierto: ¿alguna vez has intentado mezclar dos colores de color de la masilla? Simplemente "amasar" al azar no va a hacer muy bien. Sin embargo, algo "horseshoeisch", es decir, plegable y aplastar, le dará una gran mezcla rápidamente. Del mismo modo, esta es la forma en cómo los panaderos trabajan en su masa, y esta coincidencia no es por accidente.

Answer 2

El punto de herradura es demostrar el fenómeno de "caos". Se trata de un sencillo modelo que reproduce las más complejas (simbólico), la dinámica se encuentran en la naturaleza. Hay un teorema fundamental en los sistemas dinámicos que los estados que horsheoes son de forma genérica (es decir SIEMPRE) presentes en un sistema transversal de la intersección de heteroclinic o homoclinic colectores de hiperbólico puntos. Yo sugeriría mirar Wiggin no Lineal de los sistemas dinámicos y caos libro para un excelente tratamiento. En él se desarrolla la herradura->a continuación, da las condiciones bajo las cuales una herradura está presente en un sistema (llamado Conley-Moser condiciones)->a continuación, demuestra que dado un punto hiperbólico con la transversal de las intersecciones de invariantes colectores, Conley-Moser se cumplen ciertas condiciones.