Sistema de ecuaciones diferenciales - Subasta asimétrica de primer precio

Question

Estoy trabajando en un problema en mi Subasta de la Teoría del libro de texto sobre el modo para dos jugadores asimétrica primer precio de la subasta. Asumir los adjudicatarios de riesgo neutral. El enunciado del problema es como sigue:

Supongamos que el postor $1$'valor de s $X_{1}$ se distribuye de acuerdo a $F_{1}(x) = \frac{1}{4}(x-1)^{2}$$[1, 3]$, y el postor $2$'s valor es distribuido de acuerdo a $\text{exp}(\frac{2}{3}x - 2)$$[0, 3]$. Mostrar que $\beta_{1}(x) = x - 1$ $\beta_{2}(x) = \frac{2}{3}x$ constituyen equilibrio estrategias de oferta en una subasta de primer precio.

Estoy tratando de trabajar en la derivación de $\beta_{1}$$\beta_{2}$. Por desgracia, mis conocimientos de ecuaciones diferenciales no es muy fuerte. Podría alguien ser capaz de ver el doble de mi trabajo y quiero saber si tengo errores de lógica? He derivados de la correcta licitación funciones, pero no estoy completamente seguro de que mi trabajo es el sonido.

En primer lugar, supongamos que el equilibrio de licitación de las funciones de $\beta_{1} : [1, 3] \to \mathbb{R}_{+}, \beta_{2} : [0, 3] \to \mathbb{R}_{+}$ son estrictamente creciente y derivable. Definir $g_{1}(x) = \beta_{1}^{-1}(x)$$g_{2}(x) = \beta_{2}^{-1}(x)$.

Reproductor $i$ valoración $v$ pueden variar en su oferta, por lo que busca a buscar la mejor oferta dada por el problema de optimización a continuación.

$$\max_{b} F_{-i}(g_{-i}(b)) \cdot (v - b)$$

Consideramos que las Condiciones de Primer Orden:

$$F_{-i}(g_{-i}(b)) = \dfrac{f_{-i}(g_{-i}(b))}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} \cdot (v-b)$$

En el equilibrio, $v = g_{i}(b)$. La aplicación de este y observando $\dfrac{1}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} = (g_{-i}(b))^{\prime}$, tenemos:

$$(g_{-i}(b))^{\prime} = \dfrac{F_{-i}(g_{-i}(b))}{f_{-i}(g_{-i}(b))} \cdot \dfrac{1}{g_{i}(b) - b}$$

Conectar cada uno de los $F_{i}$, obtenemos:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$$

Y:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$$

En el equilibrio, tenemos $\beta_{1}(3) = \beta_{2}(3)$. Por la racionalidad individual, $\beta_{2}(0) = 0 \implies g_{2}(0) = 0$.

Mientras que yo, obviamente, utilice la declaración del problema que $\beta_{1}(x) = x - 1$ a la conclusión de que la $g_{1}(0) = 1$, no sé cómo justificar esta condición de contorno de forma independiente. ¿Alguien tiene alguna idea de este?

Asumiendo esta condición de frontera, sin embargo, yo nota:

$$g_{2}^{\prime}(0) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - 0} = \dfrac{3}{2}$$

A partir de aquí, puedo ola mi mano y supongo que $g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2}$, lo que implicaría $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$. No estoy seguro de cómo formalmente derivar esto, sin embargo. Alguien tiene conocimientos sobre esto?

Una vez que he a $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$, puedo conectar en $g_{1}^{\prime}(b)$ para obtener:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{\dfrac{3}{2}b - b} = \dfrac{g_{1}(b) - 1}{b}$$

Que es una de primer orden de la ecuación diferencial lineal, cuya solución es:

$g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$.

Y tenemos $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$.

Mi trabajo es sin duda un poco de mano-ondulado. Les agradecería mucho cualquier ayuda en la consolidación de los detalles. Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Desde que se da el equilibrio. Usted puede resolver por $g_1$$g_2$. $$g_1(b)=b+1\quad\text{ and }\quad g_2(b)=\frac 32 b$$ A continuación, es sencillo demostrar que estos $g_1$ $g_2$ resolver el sistema de educación a distancia:

$$\begin{align*} &g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}\\ &g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}\\ &g_1(0)=1\\ &g_2(0)=0.\end{align*}$$

Ya hemos independiente, privada de valores. El único cruce condición mantiene en el CMA para la FOC son suficientes para que una Nash=Bayes eq.

Probablemente, lo que te gustaría hacer es resolver el sistema anterior directamente sin saber cuál era la solución. Ya que el sistema no es autónoma, no conozco ningún truco, pero cualquier CAS (computer algebra software): Maple o Mathematica o Sage deben ser capaces de resolver por usted.

Answer 2

He seguido alguien la sugerencia de aquí, que fue muy fructífera. Así que tenemos las ecuaciones diferenciales:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$$

Y:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$$

Con las condiciones de frontera, $g_{2}(0) = 0$ $g_{1}(\overline{b}) = g_{2}(\overline{b}) = 3$ donde $\overline{b}$ es el máximo de la oferta.

Ahora suponemos que $g_{1}(b) = \alpha b + \gamma$$g_{2}(b) = \delta b + \lambda$. La aplicación de $g_{2}(b) = 0$ rendimientos que $\lambda = 0$.

A continuación, sustituto $g_{1}(b)$ a $g_{2}^{\prime}(b)$ para obtener:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{(\alpha - 1)b + \gamma}$$

La integración de $g_{2}^{\prime}(b)$ rendimientos

$$g_{2}(b) = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)b + \gamma)$$

Tomamos nota de que no hay constante a la hora de integrar, como $g_{2}(b) = \delta b$. Aplicamos $g_{2}(0) = 0$, concluyendo que la $ln( \gamma) = 0$. Y por lo $\gamma = 1$. Por lo tanto, $g_{1}(b) = \alpha b + 1$.

Ahora resolvemos:

$$g_{2}(\overline{b}) = 3 = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)\overline{b} + \gamma)$$

A partir de esto, y tomando nota de que $g_{1}(\overline{b}) = 3 = \alpha \overline{b} + 1$, obtenemos:

$$e^{2(\alpha - 1)} = 3 - \overline{b} \implies \overline{b} = 3 - e^{2(\alpha - 1)}$$

Conectando a $g_{1}(b)$ rendimientos:

$$g_{1}(\overline{b}) = \alpha(3 - e^{2(\alpha - 1)}) + 1 = 3$$

Lo que implica que la solución de $\alpha = 1$. Por lo tanto, $\overline{b} = 2$.

Por lo $\delta = \dfrac{3}{2}$.

Por lo tanto, $g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$; y $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ implica $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$ como se desee.

Si alguien pudiera aclarar una razón para adivinar en $g_{1}(b)$ $g_{2}(b)$ ser afín sin saber la solución, que sería muy apreciada. De lo contrario, con la suposición, la solución era bastante más fuerte que mi intento anterior.