¿Una aplicación del teorema de aproximación de Weierstrass?

Question

He aquí un problema derivado de mi examen de acceso a la universidad. Por desgracia, no lo resolví en su momento, e incluso ahora, sigo sin tener ni idea.

Sea $f:[2,7]\rightarrow\mathbb{R}$ sea continua. Dado $\varepsilon>0$ demuestre que existe un polinomio $P$ tal que $$ P(2)=f(2),\quad P'(2)=0,\quad\text{and}\quad\sup\{|P(x)-f(x)|:x\in[2,7]\}<\varepsilon. $$

Por la forma en que se enuncia, pensé inmediatamente en el llamado teorema de aproximación de Weierstrass:

Existe un polinomio $P$ tal que $||P-f||_\infty<\varepsilon$ ,

donde $||\cdot||_\infty$ denota la norma sup. Estoy ansioso por resolver esto. Cualquier sugerencia es bienvenida. Gracias.

Answer 1

Por comodidad, podemos sustituir $[2,7]$ por $[0,1]$ . $f(\sqrt x)$ es una función continua en $[0,1]$ por lo que por el teorema de Weierstrass podemos encontrar un polinomio $Q(x)$ tal que $$\sup_{x\in[0,1]}|f(\sqrt x)-Q(x)|<\epsilon/2$$ Sea $P(x)=Q(x^2)+f(0)-Q(0)$ . Entonces $P(x)$ es un polinomio que satisface $P(0)=f(0)$ , $P'(0)=0$ y \begin{align} \sup_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|&\le\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-Q(x^2)|+|f(0)-Q(0)|\\ &=\sup_{\sqrt{x}\in[0,1]}|f(\sqrt x)-Q(x)|+|f(0)-Q(0)|\\ &=\sup_{x\in[0,1]}|f(\sqrt x)-Q(x)|+|f(0)-Q(0)|\\ &\le2\sup_{x\in[0,1]}|f(\sqrt x)-Q(x)|<\varepsilon \end{align}

Answer 2

Por el teorema de Weierstrass, podemos encontrar un polinomio $Q$ tal que $$\sup_{x\in[2,7]}|f(x)-Q(x)|<\epsilon/2.$$

Si $Q^\prime(2)= 0$ Hemos terminado. En caso contrario, denotemos $Q^\prime(2)=\alpha$ y considerar los polinomios $P_{\alpha,n}(x)= \alpha x (1-x)^n$ definido en el intervalo $[0,1]$ .

Verificará que $P_{\alpha,n}^\prime(0)= \alpha$ y $$\sup\limits_{x \in [0,1]} \vert P_{\alpha,n}(x) \vert \le \frac{\vert \alpha \vert}{n+1}.$$

Igualmente $Q_{\alpha,n}(x) = P_{\alpha,n}(\frac{x-2}{5})$ se define en $[2,7]$ , $Q_{\alpha,n}^\prime(2) = \alpha/5$ y $$\sup\limits_{x \in [2,7]} \vert Q_{\alpha,n}(x) \vert \le \frac{\vert \alpha \vert}{n+1}.$$

En $\alpha =5 Q^\prime(2)$ y $n$ tal que $\frac{\vert \alpha \vert}{n+1} \le \epsilon/2$ ,

$$P(x)=Q(x)-Q_{\alpha,n}(x)$$ es un polinomio que cumple las condiciones que buscabas.