Prueba de los fundamentos de $(a+b)^2$

Question

Necesito probar esto:

Consideremos la siguiente desigualdad:

$$a^2+ab+b^2 > 0$$

Sé que $^2$ hace $a$ y $b$ números positivos, por lo que siempre será $>0$ pero me quedé atascado con el tema de los abdominales. Pensé en $a^2+b^2+ab+ab=(a+b)^2,$ pero no hay resultados... También traté de pensar cuando la suma de $a^2+b^2$ (no sólo un número) podría ser mayor entonces $ab,$ pero estoy teniendo problemas para usar algo de esto para resolverlo.

Estaría encantado de recibir cualquier ayuda.

p.d. lo siento si lo llevé a la sección equivocada

Lamento mencionarlo. $b\neq0$ y $b,a$ son números reales.

Answer 1

$$a^2+ab+b^2=(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2$$

Answer 2

1. Si $a>0$ y $b>0$ entonces, obviamente $a^2+b^2+ab>0$
2. Si $a<0$ y $b<0$ lo mismo que $1$
3. Si $a<0$ y $b>0$ asume $|a|>|b|$ así $a^2-|a|b >0$ así $a^2+ab+b^2>0$ Si $|a|<|b|$ entonces $b^2-|a|b>0$ así $a^2+b^2+ab>0$
4. Si $a>0$ y $b<0$ similar a $4$

Answer 3

$$a^2+ab+b^2=\frac1{b^2}\left[\left(\frac ab\right)^2+\frac ab+1\right]$$

Ahora haz el cambio $x=a/b$ y estudiar el signo del polinomio $x^2+x+1$ .

Answer 4

Sugerencia : $$ab\leq max\{a^2,b^2\}$$ entonces $(a+b)^2-ab>0$

Answer 5

a^2-ab+b^2>0

Se puede escribir

a^2+b^2>ab

Caso 1: a es positivo b es negativo, lo que significa que la afirmación es verdadera, lo mismo ocurre con la inversa, ya que a^2+b^2 siempre será positivo y ab siempre será negativo.

Caso 2: a y b son del mismo signo y uno es mayor que el otro.

a a + b b > ab si a es mayor que b, entonces a a>ab si b es mayor que a entonces b b > ab

Por ejemplo 3*3 > 3*2 y si b es mayor 5*5>4*5, si son diferentes uno debe ser mayor que el otro lo que significa que uno de a^2 o b^2 será mayor que ab, el mayor resultado posible sería cuando a=b que es el siguiente caso.

Caso 3: a y b tienen el mismo signo y son el mismo número

a a + b b > ab puede reescribirse como n n + n n > n*n que puede escribirse como 2n^2>n^2