Si$G$ es un grupo finito y$H \subset G$ está cerrado, ¿debe$H$ ser un subgrupo?

Question

Teorema supuesto (de las notas en línea): Si$(G,*)$ es un grupo finito y$H\subset G$,$H$ no está vacío y$H$ está cerrado bajo$*$ y luego$(H,*)$ es un grupo.

La prueba dada es un verdadero desastre, pero, después de muchos callejones sin salida, me parece que la inversa de cada elemento de H también debería estar en$H$. ¿Es eso cierto?

Tengo$x\in H$,$e\in H$ y$x*x^{-1}=e$ donde$e$ es el elemento de identidad en$G$. Creo que necesito tener$x^{-1} \in H$.

Answer 1

Es cierto: al tomar repetidos poderes$x, x^2, x^3, ...$ de un elemento$x \in H$, eventualmente debemos repetir$x = x^n$ para algunos$n>1$ (¿por qué?). Esto implica que$x^{n - 1} = e$ y que$x^{-1} = x^{n - 2}$, así que$H$ está cerrado tanto a la inversa como a los productos.

Answer 2

Hay una prueba muy simple que sólo requiere $H$ finitos (y no vacía).

$x\in H$, Considere el mapa $f_x\colon H\to H$ definidas en $f_x(h)=xh$. Este mapa es inyectivo (probarlo), por lo que es sobreyectiva porque $H$ es finito. Entonces existe $h_0\in H$ tal que % $ $$x=f_x(h_0)=xh_0=x;$por lo tanto el $h_0=e$% y tan $e\in H$. Pero entonces también tenemos $h_1\in H$ tal que e $$ = f_x (h_1) = x * h_1% $$ y lo $h_1=x^{-1}\in H$. Desde $x\in H$ era arbitraria, hemos demostrado que $e\in H$ y $x^{-1}\in H$, para todos los $x\in H$.

Answer 3

Desde que tenemos $\lvert G \rvert = n < \infty$. Por lo tanto,$x^{n} = e$, que obviamente está en$x^{-1} = x^{n-1}$.