Me gustaría preguntar si hay alguna manera de probar que el siguiente proceso $$ \ mathrm dY_t = \ left (a + \ frac {b} {Y_t} \ right) \ mathrm dt + \ mathrm dW_t, \ \ Y_0 = y_0> 0 , $$ donde$a\neq 0$ y$b\geq 1/2$, siempre es positivo, es decir,$P(0<Y_t)=1$ como Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Permítanme darles primero un no rigurosas "prueba" de la declaración; a continuación voy a explicar cómo lo justifican.
Si definimos
$$f_n(x) := n x 1_{[0,1/n]}(x) + 1_{[1/n,\infty)}(x),$$
a continuación,$f_n \uparrow 1_{(0,\infty)}$. Obviamente, $f_n$ no es diferenciable en a$x=0$$x=1/n$, pero por el momento nos olvidamos de esto (que el que no sea riguroso parte) y aplicar la fórmula de Itô:
$$f_n(Y_t) - f_n(y_0) = \int_0^t f_n'(Y_s) \, dY_s + 0.$$
Teniendo expectativa en ambos lados y el uso de ese $\mathbb{E}\left( \int_0^t f_n'(Y_s) \, dW_s \right)=0$, obtenemos
$$\begin{align*} \mathbb{E}f_n(Y_t)-f_n(y_0) &= \mathbb{E} \left( \int_0^t f_n'(Y_s) \left(a + \frac{b}{Y_s} \right) \, ds \right) \\ &= n \mathbb{E} \left( \int_0^t 1_{[0,1/n)}(Y_s) \left(a+ \frac{b}{Y_s} \right) \, ds \right). \end{align*}$$
Para $n$ suficientemente grande, tenemos $f_n(y_0)=1$. Como $\mathbb{E}f_n(Y_t) \leq 1$ (desde $\|f_n\| \leq 1$), la identidad anterior da
$$ n \mathbb{E} \left( \int_0^t 1_{[0,1/n)}(Y_s) \left(a+ \frac{b}{Y_s} \right) \, ds \right) \leq 0.$$
Para cualquier $Y_s \in [0,1/n)$, la desigualdad de $a+ \frac{b}{Y_s} \geq a+bn$ es verdad y por lo tanto
$$n (a+bn) \int_0^t \mathbb{P}(Y_s \in [0,1/n)) \, ds \leq 0.$$
Como $b>0$, sabemos que $(a+bn)>0$ $n$ lo suficientemente grande. En consecuencia, se
$$\int_0^t \mathbb{P}(Y_s \in [0,1/n)) \, ds \leq 0.$$
Esto implica $\mathbb{P}(Y_s \in [0,1/n))=0$ (Lebesgue)casi todos los $s \geq 0$. Desde $(Y_t)_{t \geq 0}$ tiene la muestra continua de caminos, nos encontramos con $\mathbb{P}(Y_s \in [0,1/n))=0$ todos los $s \geq 0$; en particular,$\mathbb{P}(Y_s>0)=1$.
Como ya se mencionó anteriormente, esta argumentación no es correcta porque los $f_n$ no es dos veces diferenciable y, entonces, no se trata de aplicar la fórmula de Itô. Sin embargo, este cálculo puede ser riguroso por la elección de una función suave que hace todo el trabajo, por ejemplo,
$$f_n(x) := \exp \left(- \frac{1}{n} \frac{1}{x^2} \right).$$
Los cálculos de la hora de la aplicación de la fórmula de Itô obtener más técnica (en particular, tenemos que hablar de lejos el plazo $\int_0^t f_n''(Y_s) \, ds)$), pero no son duros y muy similares a las de arriba.
