Límite de$L^p$ norma cuando$p\to0$

Question

Sea ($\Omega$,$\cal{F}$,$\mu$) un espacio de probabilidad y$f\in L^1(\Omega)$. Pruebalo

PS

dónde $$\displaystyle\lim_{p\to 0} \left[ \int_{\Omega}|f|^pd\mu \right]^{\frac{1}{p}}=\exp \left[ \int_{\Omega}\log|f| d\mu \right],$. Para simplificar el problema, podemos suponer$\exp[-\infty]=0$

Answer 1

Dejar $f(p):=\frac 1p\log\int_{\Omega}|f|^pd\mu-\int_{\Omega}\log|f|d\mu$.

Como$t\mapsto \log t$ es cóncavo, por la desigualdad de Jensen obtenemos$f(p)\geqslant 0$. Usando la desigualdad$\ln(1+t)\leqslant t$ tenemos $$0\leqslant f(p)\leqslant \frac 1p\left(\int_{\Omega}|f|^pd\mu-1\right)-\int_{\Omega}\log|f|d\mu.$ $ Ahora el problema se reduce para mostrar que$\lim_{p\to 0}\frac 1p\left(\int_{\Omega}|f|^pd\mu-1\right)-\int_{\Omega}\log|f|d\mu=0$. Para ver eso, toma una secuencia$\{p_n\}$ que converge a$0$ y coloca$f_n(x):=\frac{|f(x)|^{p_n}-1}{p_n}-\log |f(x)|$. La secuencia$\{f_n\}$ converge en casi todas partes a$0$ y tenemos, si$t\geq 1$,$0<p<1$$ $\left|\frac{t^p-1}p\right|=\int_1^t s^{p-1}ds\leqslant t-1$ $ya que el mapa$s\mapsto s^{p-1}$está disminuyendo, y Si$0<t<1 $$$\left|\frac{t^p-1}p\right|=\int_t^1s^{p-1}ds\leqslant \int_t^1s^{-1}ds=-\log t$ $ denota$A=\{x,  |f(x)|\geqslant 1\}$,$$ |f_n(x)|\leqslant (|f(x)|-1)\mathbf 1_A(x)-\log|f(x)|\mathbf 1_B(x)+\log|f(x)|, que es integrable. Podemos concluir por el teorema de convergencia dominado.