Familia de juegos indexados

Question

La mayoría de los libros escriben una familia de conjuntos$A_i$ con el conjunto de índices$I$ como$\{ A_i \}_{i \in I}$. Sin embargo, he leído otros libros que han criticado esta notación; insisten en que se debe escribir$(A_i )_{i \in I}$ para la familia de conjuntos$A_i$ indexado por$I$.

¿Hay alguna diferencia entre$\{ A_i \}_{i \in I}$ y$(A_i )_{i \in I}$? Si es así, ¿podría dar una definición precisa de cada uno?

Answer 1

No me gusta tanto la notación: me gustaría escribir $\{A_i:i\in I\}$ o $\langle A_i:i\in I\rangle$. Técnicamente no hay ninguna diferencia: cada uno implica la existencia de una función de $i\mapsto A_i$ cuyo dominio es $I$. La diferencia es que uno de los énfasis: cuando escribo $\{A_i:i\in I\}$, estoy pensando en esto simplemente como una colección de conjuntos, mientras que cuando escribo $\langle A_i:i\in I\rangle$, estoy enfatizando la existencia de la función cuyo dominio es $I$ y cuyo rango es que la colección de conjuntos. Yo podría permitirle $\mathscr{A}=\{A_i:i\in I\}$ y simplemente hablar de la colección de $\mathscr{A}$ de los conjuntos, sin ninguna referencia específica a la indexación, pero cuando escribo $\langle A_i:i\in I\rangle$, la indexación es muy mucho en mi mente: $\langle A_i:i\in I\rangle$ es una abreviatura para una función de $I\to\mathscr{A}:i\mapsto A_i$.

Para un ejemplo más familiar de la distinción, compare $\{x_n:n\in\Bbb N\}$$\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$, donde cada una de las $x_n\in\Bbb R$. En cada caso $x_n$ es sólo una más de notación para $\varphi(n)$, para alguna función $\varphi:\Bbb N\to\Bbb R$. Sin embargo, cuando escribo $\{x_n:n\in\Bbb N\}$ no estoy pensando de esa función; estoy pensando en su gama, el conjunto de valores que asume. Cuando escribo $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$, sin embargo, estoy pensando en la función: este es un valor real de la secuencia, es decir, una función de$\Bbb N$$\Bbb R$, no solo una contables conjunto de los números reales.

(Nota: Muchas personas utilizan paréntesis para mi corchetes angulares; yo prefiero el ángulo de los soportes para esta específica notacional propósito, puesto entre paréntesis, ya tienen más que suficiente significados.)